При доказательстве существования пределов последовательностей применяют
Тема 2. Числовая последовательность и её предел
1. Последовательность задана формулой общего члена. Записать
пять первых членов последовательности:
а) 
; б) 
; в) 
.
Изобразить каждую последовательность на координатной оси.
2. Определить:
1) какие из последовательностей ограничены сверху,
ограничены снизу, ограничены;
2) какие из указанных последовательностей являются
возрастающими, убывающими;
3) какие из последовательностей являются сходящимися,
если
а) 
; б) 
.
3. Пользуясь определением предела последовательности,
доказать, что 
= а, если
а) , а = 2; б) , а = 0.
Указать номер 
.
Практическое вычисление пределов основывается на
применении теоремы об арифметических операциях над сходящимися последовательностями (теорема о пределе суммы (разности) сходящихся последовательностей, определе произведения сходящихся последовательностей и о пределе частного сходящихся последовательностей).
4. Найти предел последовательности:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
При вычислении пределов вида 
, где хn ® ¥ ,уn® ¥
непосредственному применению теорем предшествует тождественное преобразование выражений под знаком предела.
Иногда таким преобразованием является деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение.
5. Найти предел последовательности:
а) 
; б) 
При вычислении пределов, содержащих иррациональность, переводят иррациональность из знаменателя в числитель или наоборот.
6. Найти предел последовательности:
а) 
; б) 
;
в) 
.
При вычислении пределов последовательностей, члены которых являются результатом суммирования, используются формулы суммы арифметической и геометрической прогрессий.
7. Последовательность задана рекуррентно:
, 
, n Î N, n ³1.
Найти предел последовательности, если известно, что он
существует.
Если последовательность задана рекуррентной формулой и известно, что её предел существует, то для его вычисления используют равенство:
= 
.
8. Доказать, что 
.
При доказательстве существования пределов последовательностей применяют
· теорему о зажатой последовательности;
· теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности
9. Доказать, что последовательность
имеет предел.
Домашнее задание
1. Изобразить последовательности на координатной оси.
Установить, какие из них имеют предел (сходятся), а какие не имеют (расходятся).
а) 
, 
;
б) 
, 
;
в) 
, 
.
2. Определить:
1) какие из последовательностей ограничены сверху,
ограничены снизу, ограничены;
2) какие из указанных последовательностей являются
возрастающими, убывающими;
3) какие из последовательностей являются сходящимися,
если
а) 
; б) 
.
3. Пользуясь определением предела последовательности,
доказать, что = а, если
а) , а = 
; б) , а = 1.
Указать номер .
4. Найти предел последовательности:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
и) 
; к) 
;
л) 
; м) 
5. Найти предел последовательности:
а) 
; б) 
6. Найти предел последовательности:
а) 
; б) 
;
7. Доказать, что последовательность, заданная рекуррентным
соотношением, 
, 
не имеет предела.
8. Найти предел последовательности:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.