Примеры решения задач типового расчёта 2 страница
 |
 |
 | |||
 |
 |
 |
-1/2
0 
Задача 5
Задача 5
Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,8 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 
мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятностей) 
и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
Решение
1. Дифференциальная функция нормального распределения определяется формулой
Так как Х – отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то 
Подставляя параметры 
в формулу плотности вероятности, получим
2. Воспользуемся формулой
Подставив сюда 
получим
Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,8 мм, равна 0,8904. Оотсюда следует, что примерно 89 шариков из ста окажутся годными.
Задача 6
Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки объёма 
частичный интервал 0-2 2-4 4-6
сумма частот вариант 
20 30 50
частичного интервала
Решение
Найдём относительные частоты:
Найдём плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала :
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы.
Проведём над этими интервалами отрезки на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты:
0,25
0,15
0,1
0 2 4 6
Так выглядит искомая гистограмма относительных частот.
Задача 7
Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 
неизвестного математического ожидания 
нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение 
выборочная средняя 
и объём выборки 
=25.
Решение
Искомый доверительный интервал найдём по формуле
.
Все величины, кроме 
, известны. Найдём из соотношения 
По таблице приложения (см. часть 1) 2 находим =1,96. Подставив значения 
в указанную формулу, получим
или 
Интервал (12,04;15,96) покрывает исследуемый параметр 
с надёжностью 
Условия задач типового расчёта
Вариант 1
1. Вероятность выигрыша в лотерее 0,05. Некто покупает 5 билетов. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х- – числа выигрышных билетов среди купленных. Построить полигон распределения, график интегральной функции. Найти числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
2. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Составить закон распределения Ддискретнойая случайнойая величинаы Х – числоа вызовов за две минуты. Вычислить вероятности возможных значений Х=0,1,2,3,4. Найти интегральную функцию, числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Поток вызовов предполагается простейшим (применить формулу Пуассона) . Возможные значения Х принять в интервале 0…4.
3. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если было произведено 800 испытаний.
4. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины Х:
.
Найти параметр 
, вероятность попадания случайной величины Х в интервал
(- 
/4, 
, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклоненение. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая случайную величину Х распределённой нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятности) величины Х и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
6. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки
объёма 
:
частичный интервал 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10
сумма частот вариант 5 10 18 12 5
частичного интервала
5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7мм. Считая случайную величину Х распределённой нормально со средним квадратическим отклонением 0,4мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятности) величины Х и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
7. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением 
=3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания , если выборочная средняя 
=4,2, объём выборки =36, а надёжность оценки 
=0,95.
Вариант 2
1.1. Вероятность выигрыша в лотерее 0,04. Некто покупает 3 билета. Составить закон рас - пределения дискретной случайной величины Х – числа выигрышных билетов среди купленных. Построить полигон распределения, график интегральной функции. Найти числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
2. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно трём. Дискретная случайная величина Х – число вызовов за полторы минуты. Вычислить вероятности возможных значений Х=0,1,2,3,4. Найти интегральную функцию, числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно трём. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа вызовов за полторы минуты. Найти интегральную функцию, числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Поток вызовов предполагается простейшим (применить формулу Пуассона) . Возможные значения Х принять в интервале 0…5.
3. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,5. Используя неравенство неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события заключено в пределах от 40 до 60, если было произведено 100 испытаний.
4. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины Х:
.
Найти параметр , вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-- /4,;0), , математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,3 2мм. Считая случайную величину Х распределённой нормально со средним квадратическим отклонением 0,32 мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятности) величины Х и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
6. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки
объёма :
частичный интервал 0-3 3-6 6-9 9-12 12-15
сумма частот вариант 4 11 18 13 4
частичного интервала
7. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадрати-ческим отклонением =2. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания , если выборочная средняя =5,3, объём выборки =64, а надёжность оценки =0,99.
Вариант 3
1. Вероятность выигрыша в лотерее 0,03. Некто покупает 3 билета. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выигрышных билетов среди купленнных. Построить полигон распределения, график интегральной функции. Найти числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичес- кое квадратическое отклонение.
1.
2. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно одному. Дискретная случайная величина Х – число вызовов за две минуты. Вычислить вероятности возможных значений Х=0,1,2,3,4. Найти интегральную функцию, числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
2.1.Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно трём. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа вызовов за полторы минуты. Найти интегральную функцию, числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Поток вызовов предполагается простейшим (применить формулу Пуассона) . Возможные значения Х принять в интервале 0…5.
3. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события заключено в пределах от 50 до 70, если было произведено 200 испытаний.
4. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины Х:
.
Найти параметр , вероятность попадания случайной величины Х в интервал
(0, 
, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
6. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки
объёма :
частичный интервал 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25
сумма частот вариант 6 9 18 11 6
частичного интервала
5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,4 мм. Считая случайную величину Х распределённой нормально со средним квадратическим отклонением 0,25 мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятности) величины Х и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
5, Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,3мм. Считая случайную величину Х распределённой нормально со средним квадратическим отклонением 0,4мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятности) величины Х и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
7. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания , если выборочная средняя =6,4, объём выборки =81, а надёжность оценки =0,95.
Вариант 4
1. Вероятность выигрыша в лотерее 0,06. Некто покупает 5 билетов. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выигрышных билетов среди купленных. Построить полигон распределения, график интегральной функции. Найти числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
2. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Дискретная случайная величина Х – число вызовов за полторы минуты. Вычислить вероятности возможных значений Х=0,1,2,3,4. Найти интегральную функцию, числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа вызовов за полторы минуты. Найти интегральную функцию, числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Поток вызовов предполагается простейшим (применить формулу Пуассона) . Возможные значения Х принять в интервале 0…3.
3. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события заключено в пределах от 65 до 85, если было произведено 300 испытаний.
4. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины Х:
.
Найти параметр , вероятность попадания случайной величины Х в интервал
(- /6, , математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
6. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки
объёма :
частичный интервал 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13
сумма частот вариант 4 8 20 10 8
частичного интервала
5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,4мм. Считая случайную величину Х распределённой нормально со средним квадратическим отклонением 0,5 мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятности) величины Х и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных. 5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5 мм. Считая случайную величину Х распределённой нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятности) величины Х и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
7. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =4. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания , если выборочная средняя =7,5, объём выборки =100, а надёжность оценки =0,999.
Вариант 5
1. Вероятность выигрыша в лотерее 0,07. Некто покупает 3 билета. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выигрышных билетов среди купленных. Построить полигон распределения, график интегральной функции. Найти ччисисловые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
2. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум с половиной. Дискретная случайная величина Х – число вызовов за две минуты. Вычислить вероятности возможных значений Х=0,1,2,3,4. Найти интегральную функцию, числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно четырём. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа вызовов за одну минуту. Найти интегральную функцию, числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Поток вызовов предполагается простейшим (применить формулу Пуассона) . Возможные значения Х принять в интервале 0…4.
3. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события заключено в пределах от 60 до 90, если было произведено 400 испытаний.
4. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины Х:
.
Найти параметр , вероятность попадания случайной величины Х в интервал
(- /3, 
, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5мм. Считая случайную величину Х распределённой нормально со средним квадратическим отклонением 0,7мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятности) величины Х и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра
шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая случайную величину Х распределённой нормально со средним квадратическим отклонением 0,5 мм, составить формулу дифференциальной функции (плотности вероятности) величины Х и найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
6. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки