ПЕРСПЕКТИВА ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 4 страница

На картине (рис. 108) отрезок АВ является перспективой отрезка А'В', а отрезок AqBq = А'В' (по построению). Следовательно, мы установили связь и получили соотношение между перспективными и натуральными линейными размерами — построили масштаб.

Рассмотрим построение перспективы отрезка АВ по заданной натуральной величине (рис. 109). Предельной точкой предметного следа вспомогательной плоскости является точка Р. Однако, если прямую заключить в другую плоскость, где предельной точкой будет А„, то результат построения масштаба не изменится, так как перспектива отрезка АВ является линией пересечения этих вспомогательных плоскостей.

►

Для построения перспективного масштаба высот заданную вертикальную прямую заключают в горизонтально-проецирующую плоскость и натуральные отрезки откладывают на картинном следе этой плоскости. Затем переносят их с помощью линий переноса, для которых точкой схода будет являться предельная точка предметного следа этой плоскости.

5Э-298 65

Рис. 109

Рис.110

На картине (рис. 110) задана вертикальная прямая с точкой А на ней. Требуется отложить на прямой от точки А величину, равную 5 м, при заданной натуральной единице масштаба (1 м) на картине. Заданную прямую заключим в произвольную горизонтально-проецирующую плоскость и проведем через точку А предметный след АА₀. Через полученную на основании картины точку А₀ восстановим вертикально картинный след AgA_k. На картинном следе отложим пять отрезков, равных 1 м. Через последнее деление проведем линию переноса в предельную точку А_х на линии горизонта, которая позволит получить второй конец отрезка — точку В. Отрезок АВ в перспективе будет равен 5 м. Все отрезки, находящиеся в этой горизонтально-проецирующей плоскости и ограниченные прямыми ДД^ и А/А^ будут равны 5 м.

На схеме картины итальянского художника Фра-Филиппо Липпи « Благовещение» события развиваются в интерьере, натуральную высоту которого определим путем вывода размера боковой стены на основание карти-

ны (рис. 111). В данном случае целесообразно использовать точку Р как предельную точку схода предметного следа горизонтально-проецирующей плоскости, которая проходит через боковую стену, а значит и отрезок MN. Отрезок М₀М_к — натуральная величина высоты комнаты в масштабе картины. Для того, чтобы определить реальные размеры стен комнаты, можно использовать стоящую фигуру Марии. Определим натуральную величину ее роста в масштабе картины. Она равна отрезку ДА, который для наглядности вынесен за пределы картины на свободное поле листа. Средний рост человека 1,65 м, допустим, что эта величина соответствует росту Марии. Разделим отрезок на 10 равных частей. Одна часть п = 16,5 см. Измерим величину стены этой же мерой, она составит 15 частей, значит примерно 2,5 м.

к Для определения натуральной величины отрезка, заданного в перспективе, его заключают в горизонтально-проецирующую плоскость, отмечают предельную точку ее предметного следа на линии горизонта. Затем проводят горизонтальные линии переноса через концы отрезка и предельную точку до пересечения с картинным следом плоскости, где и определится натуральная величина этого отрезка.

4. Перспективный масштаб глубин. Дистанционная точка

Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярный к плоскости картины, называется масштабом глубин. Рассмотрим его построение на проецирующем аппарате (рис. 112). Проведем в предметной плоскости отрезок AqB' перпендикулярно к плоскости картины и перенесем этот отрезок на основание картины. Для этого через точку В' проведем прямую под углом 45° к основанию картины, отметим точку пересечения N₀ и обозначим отрезок NqAq. Направим луч зрения параллельно отрезку N₀B', т. е. под углом 45°, найдем точку его пересечения с линией горизонта. Это будет точка D₂.

Построим перспективы прямых А^В' и N₀B'. Прямая А₀Р является перспективой глубинной прямой А^В' с предельной точкой Р. Отрезок N₀D₂ — перспектива отрезка N₀B'. Перспективу В точки В' получим как результат пересечения перспективы глубинной прямой А^В' и перспективы прямой N₀B', лежащей к основанию картины под углом 45° (по построению). Отрезок А₀В — перспектива отрезка А^В'. Так устанавливается соотношение между размерами отрезка AqB в перспективе и отрезка А$В' в натуре, т.е. получили масштаб глубин. К такому же результату можно прийти, если исследовать треугольник NqBAq.

Прямая А₀Р — перспектива глубинной прямой АдВ'. Следовательно, угол при вершине А₀ треугольника N₀BA₀ есть перспектива прямого угла треугольника NqB'Aq . Прямая N₀D₂ — перспектива прямой N₀B', лежащей под углом 45° к основанию картины (по построению). Следовательно, углы при вершине N₀ и В есть перспективы угла в 45° Треугольник N₀BA₀ на картине является перспективой прямоугольного равнобедренного треугольника N₀B'Aq . Отрезок А^В в перспективе соответствует отрезку N(A₀b натуре, а отрезок NqA₀= AqB' по построению, как стороны равнобедренного треугольника. Так установили соотношение между размерами отрезка А^В в перспективе и размером отрезка А^В' в натуре, т. е. нашли масштаб.

Точку схода горизонтальных прямых, идущих слева на право под углом 45° к плоскости картины, обозначают D₁₅ справа налево — D₂ и называют — дистанционными точками (рис. 113).

С помощью дистанционных точек можно сравнить величину различных отрезков, идущих в точку схода Р. На картине (рис. 114)даны два отрезка АВ и СЕ. Из точки D_l через точки А, В, С, Е проведем линии переноса до пересечения с основанием картины в точках А₀ и В₀, С₀ и Е₀. На линии основания картины определим натуральные величины А₀В₀ и С₀Е₀ соответствующих отрезков АВ и СЕ. Натуральные величины обоих отрезков равны п, значит и изображенные отрезки тоже равны между собой.

В данном примере дистанционная точка расположена за пределами картины, в некоторых случаях она может быть значительно удалена от нее,

Рис.113

что усложняет построения и делает их менее точными. В таких случаях пользуются дробными дистанционными точками.

Рис.114

На картине (рис. 115) задан отрезок АВ, который располагается на глубинной прямой АР. С помощью дистанционной точки D определим натуральную величину этого отрезка на основании картины и обозначим ее буквой т.

Рис.115

Если расстояние от точки Р до D разделить пополам и провести линию переноса через конец отрезка точку В до пересечения с основанием картины, получим расстояние в два раза меньшее, чем имеющаяся величина т. Если на основании картины отложить отрезок т/4 и соединить с тем же концом отрезка точкой В, а затем продолжить до пересечения с линией горизонта, то получим дробную дистанционную точку D/4 (PD/4 = D/4D/2).

Диагональ плит на схеме с гравюры советского графика А.П. Остроумовой-Лебедевой, где изображен вид Петербурга «Нева сквозь колонны биржи» (рис. 116), представляет собой прямую, расположенную под углом 45°

к картинной плоскости. Через один угол квадратной плиты, обозначен точкой Е; проведена диагональ до пересечения с линией горизонта в точке D₂, которая лежит достаточно далеко за пределами картины. Точка D/4 располагается на картине. В практической перспективе использование дробных точек облегчает построение перспективных изображений отрезков и определение их величин.

►

Для получения натуральной величины перспективы глубинного отрезка, изображенного на картине, достаточно провести линии переноса из дистанционной точки, через концы глубинного отрезка, до пересечения с основанием картины.

5. Перспективный масштаб на прямой произвольного направления

Относительно картинной и предметной плоскостей прямые могут располагаться совершенно произвольно под любым углом. Масштаб, построенный на произвольно направленной прямой, называется масштабом в произвольном направлении. Рассмотрим построение перспективного масштаба в наиболее часто встречающемся случае — на произвольно направленной, горизонтальной прямой (рис. 117).

Прямая Д)Д1 лежит в предметной плоскости. Требуется на ней построить перспективный масштаб.

На основании картины, начиная от точки А₀, построим натуральный масштаб и перенесем его деления с основания картины на прямую А^А^ при помощи прямых 1₀1', 2₀2 , 3₀3'. Эти прямые параллельны, поскольку между ними, по построению, лежат попарно равные отрезки. Заметим, что каждая из этих прямых образует равные углы с основанием картины и с прямой AqA^, , вследствие чего треугольники 1₀^ 1', 2₀А^2', Зо^З' с общим углом при вершине А₀ будут равнобедренными (А₀1₀ = А₀1'; А₀2₀ = = А₀2'; А₀3₀ = А₀3') и подобными между собой.

Из точки зрения проведем лучи SA^ \\ А^А^ и SM || 1₀1' и находим на линии горизонта предельную точку А„ прямой А^А^ и точку схода линий переноса М_те, после чего построим на картине заданную прямую с нанесенным на нее перспективным масштабом.

Треугольник SA^M^, образовавшийся в плоскости горизонта, подобен треугольнику 1₀ \ 1„ (вследствие параллельности сходственных сторон) и потому является равнобедренным (SA^ = M^J).

Повернем треугольник A^SM^ вокруг линии горизонта и совместим его с плоскостью картины. Точка зрения S при совмещении с картиной будет находиться на перпендикуляре, проведенном из главной точке Р к линии горизонта, и на расстоянии SP = S^ .

Рис.118

Из построений видно, что совмещенную точку зрения всегда можно найти на картине, если задана главная и дистанционная точки.

Перенесем на картину ее основные элементы (рис. 118). В предметной плоскости картины изобразим произвольно направленную прямую AqA^. Построим перспективный масштаб на прямой.

Отложим на основании картины от точки Д, заданные отрезки натурального масштаба Aoi₀,1₀2₀,2₀3₀. На перпендикуляре, восстановленном из главной точки картины к линии горизонта, отметим совмещенную точку зрения S_k, отложив PS_k = PD. На линии горизонта отложим отрезок AJM^ = = A^S (как равные стороны равнобедренного треугольника S_kA_oaM_oa) и определим масштабную точку М„.

Масштабная точка — точка схода линий переноса для построения масштаба на произвольно направленной прямой. С помощью масштабной точки М«,, при помощи линий переноса 1₀М„, 2^^, ЗдМ^, перенесем заданный натуральный масштаб с основания картины на прямую А^А^.

Рис. 119

Определим натуральную величину отрезка АВ произвольно направленной прямой. Для этого на картине продолжим отрезок до пересечения с горизонтом и найдем предельную точку А„ этой прямой (рис. 119). Определим масштабную точку для данной прямой. Для этого построим совмещенную точку зрения S_k, отложив PD = PS_k. Циркулем расстояние A_xS_k перенесем на линию горизонта (А«,М_Х=A^S_k). Полученную масштабную точку М„ соединим линиями переноса с концами отрезка АВ и продолжим до пересечения с основанием картины. AqB₀ — натуральная величина отрезка АВ, заданного в масштабе данной картины.

Для всякой прямой произвольного направления может быть построена только одна масштабная точка перспективного масштаба. Две непараллельные прямые произвольного направления имеют разные масштабные точки.

На схеме картины Яна Вермеера Дельфского (рис. 120) требуется определить в масштабе картины натуральную величину кофемолки, отмеченную как отрезок АВ. Кофемолка повернута к зрителям под произвольным углом, поэтому отрезок АВ может рассматриваться как часть произвольно направленной прямой. В этом случае натуральную величину отрезка АВ найдем способом, показанным на рис. 119.

Для построения на картине перспективного масштаба на произвольно направленной горизонтальной прямой находят масштабную точку и, с помощью линий переноса, пройденных из масштабной точки, переносят отрезки натурального масштаба на заданную прямую.

6. Деление и увеличение отрезка в перспективе

Метрические задачи могут быть решены как с помощью перспективного масштаба, так и геометрическим способом. Рациональный выбор способа позволяет достигнуть изображения с наименьшими графическими построениями.

При решении любой задачи метрического характера следует проверить наличие в условии всех необходимых элементов картины. Рассмотрим простейшие метрические задачи и способы их решения.

Деление отрезка на равные части особенно часто применяют на практике построения перспективных изображений.

На картине (рис. 121) задан в предметной плоскости произвольно расположенный отрезок АЕ. Требуется разделить его на три равных части.

Через точку А проведем в предметной плоскости фронтальную прямую и отложим на ней от точки А три произвольных равных отрезка А1,1-2,2-3. Построим на линии горизонта предельную точку ^прямой Е^З. Через деления 1 и 2 проведем линии переноса, которые будут стремиться в предельную точку Е^. Они разделят отрезок АЕ при его пересечении на три равные части. В натуре отрезок АВ = ВС = СЕ.

	Р -Еоо
	$s
а/	-7 \ ^N	\
	1 2

Ас		р	До	—«оВ
^а,	---- 7* \ \
		2 3 4

Рис. 121

Рис. 122

Рис.123

На картине (рис. 122) задан произвольно расположенный в предметном пространстве отрезок АВ. Требуется разделить его на четыре равных части.

Построение начнем с деления проекции аЪ отрезка АВ на четыре равных части. Для этого через точку а в предметной плоскости проведем фронтальную прямую, отложим на ней четыре равные части и определим предельную точку В_м. Деления 1,2,3 соединим с предельной точкой В₀ линиями переноса, которые разделят проекцию отрезка на четыре равные части. Вертикальными линиями перенесем деления на отрезок АВ, расположенный в предметном пространстве.

На картине (рис. 123) задан отрезок АВ. Требуется увеличить его в три раза.

Через проекцию а точки А проведем фронтальную прямую и, с помощью произвольной точки схода В„ перенесем на нее проекцию аЪ отрезка — точка 1. На полученной прямой от точки 1 отложим еще два таких же от-

Рис.124

резка (al = 1-2 = 2-3) и отметим точку С₀. Точку С₀ соединим с предельной точкой Б_м Из полученной на пересечении проекции аЪ и отрезке С^В^ проекции с проведем вертикальную прямую, найдем положение точки С. Определим искомый отрезок АС = ЗАВ.

На картине (рис. 124) показан городской пейзаж, на переднем плане которого изображен ограждающий тротуар забор, состоящий из равных прямоугольных секций. Задача, стоявшая перед художником по изображению этих равномерно удаляющихся секций, аналогична построениям, показанным на рис. 125. Дано два вертикальных столба АВ и СЕ. Требуется в пределах картины построить еще несколько таких же столбов на одинаковом расстоянии друг от друга.

Соединим основания столбов и проведем прямую, предельная точка, которой будет лежать на линии горизонта. Оба заданных столба разделим пополам и проведем через их середины горизонтальную прямую, которая будет иметь ту же точку схода на линии горизонта. Через верхний конец первого столба и середину второго проведем диагональ, конец которой отметит на линии оснований начало третьего столба.

Этот же способ применяют для построения прямоугольников, лежащих в предметной плоскости (рис. 126). Дана дорожка, покрытая прямоуголь-

ными плитами, одна из которых задана на чертеже. Требуется построить еще несколько таких же плит.

Глубинные прямые продолжим до пересечения с линией горизонта в точке Р (рис. 127). Фронтальную сторону разделим пополам и проведем еще одну глубинную прямую в точку Р. Через один конец первой стороны и середину второй проведем диагональ, которая отметит следующую сторону прямоугольника.

На картине (рис. 128) задан отрезок АВ, лежащий в предметной плоскости под произвольным углом. Требуется разделить его пополам.

В этом случае целесообразно использовать свойства диагоналей, которые делятся пополам в точке их пересечения. В перспективе построим параллелограмм, проводя через концы отрезка А и В горизонтальные прямые, параллельные основанию картины. Через точки А и В проведем параллельные прямые АА_Х и ВА_Х, точка схода которых — А*, взята произвольно на линии горизонта. В построенном параллелограмме отрезок АВ является диагональю, которая разделится второй пополам.

Вышеперечисленные способы позволяют делить и увеличивать любой отрезок, заданный в предметной плоскости и пространстве.

Зопросы и упражнения для самоконтроля

1.Что называется масштабом картины?

2. Как влияет выбранный масштаб на изображение в картине?

3. На рис. 129 представлены две работы разных художников. В каком случае охват пространства больше? Как это влияет на масштаб изображения?

Рис.129

4. Для чего применяются перспективные масштабы?

5. Что называется масштабом высот, глубин и широт?

h	D/A P
	В

Рис. 130

R Рис. 131

6. Что такое масштабная точка? В каких случаях она применяется?

7. Для чего на картине применяют дробные дистанционные точки?

8. Определите длину отрезка АВ (рис. 130).

9. Как можно объяснить, что все изображенные фигуры имеют одинаковый рост (рис. 131)?

Глава IV

ПЕРСПЕКТИВА ПЛОСКИХ ФИГУР

1. Перспектива углов

Часто на картинах изображают объекты, имеющие прямые углы, которые в перспективных построениях таковыми не являются, вместе с тем визуально соответствуют действительности. Угол многоэтажного здания (рис. 132) изображен тупым, между тем нет сомнений, что здание имеет прямоугольную форму. Построение перспективы угла выполняется на основе общего правила построения перспективы прямых. Удобнее строить перспективу прямой по двум точкам: картинному следу и предельной точке прямой.

Рассмотрим построение перспективы некоторого угла а' на проецирующем аппарате (рис. 133). Для упрощения доказательств угол расположим в предметной плоскости. Определим для каждой прямой предельную точку, для чего проведем лучи зрения SA^ и SB_X параллельно лучам А' и В' до пересечения с картиной на линии горизонта.

Соединим точки А₀ и В₀ с соответствующими предельными точками А_теи В„. Угол а, полученный в результате пересечения прямых AqA» с прямой В₀В«,, будет равен заданному натуральному углу а' и является его перспек-

тивой.

эй.

На проецирующем аппарате угол B^SA^, образованный в плоскости горизонта, равен заданному а' (по построению). Для объяснения некоторых будущих построений на картине осуществим преобразования на проецирующем аппарате. Повернем плоскость угла B_XSA_X вокруг линии горизонта до совмещения с плоскостью картины. Тогда на картине угол B„S,A^ изобразится в натуральную величину и будет равен заданному углу а'. Его вершина совпадет с совмещенной точкой зрения S_h, а стороны будут опираться на линию горизонта в предельных точках А_м и Б_те.

Для построения перспективы на картине (рис. 134) при совмещенной точке зрения S_k зададим натуральную величину угла а и продолжим его стороны до пересечения с линией горизонта. Полученные точки A„ и В_х являются предельными точками сторон заданного в перспективе угла а. Начертим перспективу угла а, используя картинные следы Ад и Б₀.

к Для построения перспективы угла, лежащего в горизонтальной плоскости задают его натуральную величину при совмещенной точке зрения и про-

Jr должают стороны до пересечения с линией горизонта. Полученные точки пересечения будут предельными точками сторон искомого угла с заданной вершиной.

На картине (рис. 135) задана перспектива стороны угла ЕА. Требуется построить перспективу угла, натуральная величина которого задана графически рядом и равна а.

Используя картинные следы А₀ и В₀ начетрим перспективу угла ос.

Определим положение совмещенной точки зрения S_k. Для этого из главной точки картины Р проведем перпендикуляр к линии горизонта и отло-

6 Э-298

Рис.135

жим на нем дистанционное расстояние PS = PD. Продолжим прямую ЕА до пересечения с линией горизонта. Отметим предельную точку А_х заданной стороны угла. Соединим полученную точку А_тс с совмещенной точкой зрения S_k. Отложим натуральный угол ос из вершины S_k от стороны S,A_X и продолжим вторую сторону угла до пересечения с линией горизонта. Получим предельную точку В^. Соединим заданную вершину Е с полученной предельной точкой В„ и проведем вторую сторону угла ЕВ„. Угол BJZ,A„ является перспективой заданного угла а.

Данная задача может быть решена другим способом. Для этого произведем преобразование проецирующего аппарата. Предметную плоскость совместим с картиной, вращая ее вниз на 90° вокруг основания картины k (рис. 136). Плоскость горизонта вместе с точкой зрения и главным лучом зрения повернем вокруг линии горизонта на угол 90° до совмещения с картиной. Таким образом, получим совмещенными с картиной две плоскости плоскость горизонта и предметную.

При совмещении плоскости горизонта с картиной точка зрения в совмещенной плоскости обозначается с индексом S_k. Главная точка Р и дис-

танционные точки остаются на месте, так как они находятся на оси вращения. Прежде чем выполнить построение перспективы угла по заданной стороне рассмотрим, как будет изображаться перспектива точки, расположенной в совмещенной предметной плоскости.