Кешенді сандардың алгебралық тұйықталуы
Кешенді сандар өрісінің алгебралық тұйықталуы
Тексерген:Қасымханұлы Бөрібай, доцент, ф.-м.ғ.к
2014 ж
Мазмұны
1,1 Кіріспе.............................................................................................3-6
Негізгі бөлім........................................................................................4-14
2,3Кешенді сандар өрісінің алгебралық тұйықталуы................7-12
2,5 Кешенді сандар өрісі....................................................................12-18
Қортынды............................................................................................19-20
Пайдаланылған әдебиеттер .............................................................21
Кіріспе:
Алгебра (араб.: الجبر әл-джәбр) — математиканың алгебралық теңдеулерді шешу жөніндегі есептерге байланысты дамыған негізгі бөлімдерінің бірі. Алгебра атау және жеке ғылым саласы ретінде Мұхаммед әл-Хорезмидің (9 ғасыр) 1-, 2-дәрежелі теңдеулерге келтірілетін есептердің жалпы шешімі көрсетілген “Әл-джәбр уә-л-муқабәлә” атты еңбегінен бастау алады. Ал, Омар һайям (1038/1048 — 1123/1124) 3-дәрежелі теңдеулерді зерттеуді жүйелеп, өзінің “Алгебрасын” жазған. Орта ғасырлық Шығыс ғұламалары гректер мен үнділіктер математикасын түрлендіріп, қайта өңдеп Еуропаға табыс еткен. Амалдарды белгілейтін таңбалар енгізу нәтижесінде Алгебра одан әрі дамыды.17 ғасыр ортасында қазіргі Алгебрада қолданылатын таңбалар, әріптер толық орнықты, ал 18 ғасырдың басында Алгебра математиканың жеке бөлімі ретінде қалыптасты. 17-18 ғасырларда теңдеулердің жалпы теориясы (көпмүшелер Алгебрасы) шапшаң қарқынмен дамыды. Оған сол кездегі аса ірі ғалымдар — француз ғалымы Р.Декарт Декарт, ағылшын ғалымы И.Ньютон, француз ғалымдары Ж.Даламбер (1717 — 1783) мен Ж.Лагранж (1736 — 1813) үлкен үлес қосты. Неміс математигі К.Гаусс (1777 — 1855) кез келген n дәрежелі алгебралық теңдеудің нақты не жорымал n түбірі (шешуі) болатындығын анықтаған (1799).19 ғасырдың басында норвег математигі Н.Абель (1802 — 1829) және француз математигі Э.Галуа (1811 — 1832) дәрежесі 4-тен жоғары болатын теңдеулердің шешуін алгебр. амалдар көмегімен теңдеудің коэффициенті арқылы өрнектеуге болмайтындығын дәлелдеген. Теңдеулердің радикалда шешілуінің шарттары туралы мәселенің түбегейлі шешімін Э.Галуа берді. Норвег математигі С.Ли (1842 — 1899) зерттеулері үзіліссіз топтар теориясына жол ашты. Ағылшын ғалымы У.Гамильтон (1805 — 1865) мен неміс математигі Г.Грассман (1809 — 1877) еңбектерінен гиперкомплекс жүйелер теориясы (алгебралар теориясы) бастау алды.20 ғасырда Алгебраның өрістер теориясы, сақиналар теориясы мен топтардың жалпы теориясы, топологиялық алгебра мен құрылымдар теориясы, 1940 — 1950 жылдары жартытоптар мен квазитоптар теориясы, әмбебап Алгебралар теориясы, категориялар теориясы сияқты жаңа бөлімдері пайда болды. Қазақстанда 1950 жылдан бастап алгебр. сандар теориясының кейбір мәселелері Б.М. Оразбаевтың басшылығымен ҚазПИ-де зерттелді. 1967 жылдан Қазақстан ҒА-ның Математика және механика институтында, ҚазМУ-де, ҚарМУ-де, ҚазПИ-де модельдер теориясының кейбір мәселелері зерттелуде. 1980 жылдан бастап Алгебраның топтар теориясы (В.С. Молдағалиев), Алгебралық геометрия (Ғ. Мұстафин), Ли Алгебрасы (А.С. Жұмаділдаев), К-теория (М.М. Телемтаев) және Алгебраның алгоритмдік мәселелері (У.У. Өмірбаев) салаларынан зерттеу жұмыстары жүргізілуде. Алгебра негізінен: сызықты Алгебра, көпмүшеліктер Алгебрасы, векторлық Алгебра, тензорлық Алгебра, өрістер теориясы, сақиналар теориясы, топтар теориясы, құрылымдар теориясы т.б. салалардан тұрады. Алгебра физикада, кибернетикада, матем. экономикада т.б. кеңінен қолданылады.
Қазақ ескіліктерінің сандар жүйесіндегі тілдік көріністері этнолингвистикалық арналардың барлығынан табылады. Сандардың білдіретін мән-мағынасы сөз тіркестерінде, тұрақты тіркестерде, яғни мақал-мәтел, фразеологизм, теңеулерде анық байқалып тұрады. Сандар жүйесіндегі тұрақты тіркестердің пайда болу жолдары: біріншіден, мифологиялық, астрономиялық, магиялық т.б. наным-сенімдер мен аңыз-әңгімелер, екіншіден, қазіргі таңда этнофразеологизмдерге айналған сан есімнен жасалған тұрақты тіркестер от ауызды, орақ тілді шешендерден қалған.
Сандардың ерекше қолданысқа ие болуына байланысты бірнеше тұжырым ұсынуға болады:
а) Ерте уақытта халық әр алуан құбылысқа бақылау жасай келіп, олардың ортақ қасиеттерін сипаттарын санмен түйіп, санамалап айтып отырған. Мысалы, үш жүрт, төрт қонақ, бес қонақ, жеті жүт.
ә) Наным-сенімге байланысты “киелі” ұғымдар негізінде пайда болған құбылыс.
б) Сан атауы сәбидің ана құрсағында пайда болуы мен жарық дүниеге келгенге дейінгі аралықтағы уақытқа байланысты ерекше қолданысқа ие болған.
в) Метрологиялық өлшемдер адам баласы өмірінде қай кезде де ерекше қызмет атқарған.
Сан жүйесіндегі тұрақты тіркестердің ұзақ дәуір барысында алдымен еркін тіркес ретінде, одан этнофразеологизмге айналу үрдісінде мағына жағынан дамып, өзгеріске түсіп, әр дәуірдегі халықтың ой-санасына сай нақты өмір шындығынан көрінуі байқалды.
Кейбір сан есім ұйытқы болған тіркестердің бұл күндегі қолданылуы, яғни беретін мағынасы мен ертеректегі қолданысы бірдей еместігі байқалады. Мысалы, жеті ата фразеологиялық тіркесін қазір біз туыстық қатынасқа байланысты ұғымда қолданамыз. Ал бұрын бұл фразеологиялық тіркес өлшемдік мәнде, жеті атадан қара көк, жеті ата жау, жеті атасына бітпеген тіркестерінде келіп, “алыс-жақын, о бастан, ежелден” деген ұғымды да білдірген.
Сан есіммен жасалған тұрақты тіркестердің шығуы мен дамуына, қалыптасуына әсер етуші факторлар: астрономиялық, жағрафиялық, лингвистикалық, социолингвистикалық, этникалық, этногенетикалық, экстралингвистикалық факторлар және т.б.
Сандар жүйесіндегі қазақ ескіліктерін табиғи жүйе бойынша жіктеп, топтастырып өзара саласалаға бөліп қарастырдық. Ең алдымен қазақ ескіліктерінің тақ сандар жүйесіндегі тілдік көрінісі, екінші қазақ ескіліктерінің жұп сандар жүйесіндегі тілдік көріністері деп бөлеміз. Символдық мәнге ие болған сандардың өзін екіге бөліп қарастыруымыз екі санының ерекшелігіне байланысты. Екі егіз қарама-қарсылық ұғымды береді. Мысалы, бүгін-ертең, күн-түн,тақ-жұп т.б. Екі санының магиялық сырына байланысты сандарды жұп сандар, тақ сандар деп бөліп қарастырамыз. Салт-санаға байланысты да сандардың екі жағы бар: біріншісі – қуаныш, екіншісі – өлім-жітім. Өмір ағашының тігінен – ғарышпен, ол көлденең жағы – магиялық өлім-жітіммен байланысты.
Жұп сандар тұрақтылықтың белгісін білдіреді. Оған мысал, төрт бұрыш, төрт қабырга, он екі мүше, сегіз қиыр, шартарап т.б. Тақ сандарда мұндай қасиет жоқ.
Қазақ ескіліктерінің сандар жүйесіндегі көрінісі салалы бір бөлім ретінде арнайы зерттеліп, тақырыптық топтарға жіктелмеген. Сондықтан қазақ ескіліктерінің сандар жүйесіндегі көрінісін жан-жақты зерттеу – бүгінгі таңның келелі мәселелерінің бірі.
Сандар жүйесіндегі қазақ ескіліктерін жүйеге түсіріп жіктеудің қажеттілігі, яғни микро-макрожүйесінде қарастыру халықтардың рухани өмір байлығының шығу көздері мен даму арнасын, тарихи этимологиялық себептер мен әсер етуші факторларды айқындай түсуге мүмкіншілік береді.
Сандар жүйесіндегі қазақ ескіліктерін тақырыптық топтарға жіктеуде мазмүн мен мағынасы ескерілді. Сандар жүйесіндегі қазақ ескіліктерінің тақырыптық топтары: рухани мәдениет, материалдық мәдениет, халық метрологиясы, туыстық қатынас және ономастика. Бүлай жіктеу арқылы біз сандар жүйесін рухани -мәдени өміріміздің қай саласында көп, қай саласында азырақ қолданылуын көреміз. Оның тарихи этимолотиялық себептерін айқындай түсуге мүмкіншілік аламыз. Әрі қазақ ескіліктерінің сандар жүйесіндегі көрінісінің көлемін, материалдық, рухани болмыс тіршілігін анықтауға мүмкіндік туады.
Сан атаулары мен сандық ұғымдарды және олардың семантикасын тануда бірден-бір дұрыс жол – ғылыми абстракция. Өйткені ғылыми абстракциясыз ешбір ғылымды дамытып, оның заңдары мен қағидаларын өрістетіп, жетілдірудің өзі мүмкін емес. Тіл дамуының ішкі заңдары сол тілдегі осы күнгі сан атауларының әртүрлі жағдайда туып, дамып, абстрактыланғандығын көрсетеді; Мәселен, орыс тілін алайық. Орыс тілінде үштен мыңға дейінгі сан есімдерде род категориясы жоқ та, один, два, оба, полтора сөздерінде гана родтың айырмашылықтар бар; барлық сан есімде число категориясы да жоқ. Орыс тіліндегі қазіргі сан атаулары зат есім мен сын есімнен бөлініп шыққан. Орыс тілінде сан есім ертеде өз алдына жеке морфологиялық категория болған емес. Онда есептік зат есімдер мен сын есімдер және оларға тән морфологиялық ерекшеліктер ғана бар. Атап айтқанда, пять, десять, сто, тысяча т. б. төрттен жоғары сан атауларының бәрі де зат есім формаларына ие болған; тіпті бұлардың кейбірінде зат есімге тән род, число, септік категориялары да болған; сондықтан да олар зат есім сияқты түрленген; анықталғыш (определяемое слово) сөз ретінде сын ееім, есімдііктерден кейін қолданылған. Пять, шесть, семь т. с. с. есептік сөздер женский родтық есімдер бола тұрып, өзіне қатысты сөзді меңгеріп алатын болған. Ал один, два, три, четыре сын есім болған. Мұның бәрі “көне, орыстың ертедегі тіліндегі сан атаулары мен есептік сөздердің нақтылы предметтік ұғымды білдіргенін, сөйтіп, белгілібір заттық атауы не ұғымы емір шындығынан алынды” деген марксистік қағидалардың дұрыстығын тағы да дәлелдей түседі. V-VIII ғасырдан бермен қарайғы бар фактілер мен жазба ескерткіштер түркі тілдеріндегі негізгі сөздік қорға жататын сан атауліарының ерте заманнан бері сандық мағынада ғана келе жатқандығын көрсетеді. Дегенмен қазіргі кейбір мәліметтер бойынша түркі тілдеріндегі сан атаулары да өмір шындығынан, заттық құбылыстан алынып, осы күнгі абстрактылық ұғым дәрежесіне жеткен деп жорамалдауға мүмкіндік бар сияқты.
Ол фактілер мынадай: қазіргі қазақ тілінде және көптеген түркі тілдерінде қос, егіз, жарты, жеке, жалғыз, бірегей, некен-саяқ, табан т. б. осы сияқты сандық семантикалы бірнеше сөз бар. Бұл сөздердің бірі зат есім, бірі сын есім екені, ал жарты, жарым сөздері етістіктен жасалғандығы даусыз.
Екінші бір мысал: қазақ тілінде ерте кезде сүт пісірім, шай қайнатым, ет асым, күндік жер, қозы көш жер, ат шаптырым, әу-дем жер деген сияқты мөлшерлік, өлшемдік, мезгілдік мағналы тіркестер қолданылатын. Бұлар сандық, мөлшерлік, уақыттық ұғымды білдіреді. Семантикалық жағынан сан есімнің орнына қолданылады.
Түркі тілдеріндегі сан атауларының заттық мағына беретініне тағы бір факт – түмен (он мың) және мың атаулары. Көптеген түркі тілдерінде түмен мен мың атаулары ерте кезде семантикалық жағынан сандық уғымды білдіре отырып, зат есім мағнасында көбірек қолданылған. Қазірде де осы мағнада аз қолданылмайды. Мәселен, қазақ тілінде мың сан ңол, мың мен санға сияқты тіркестер жиі ұшырасады. Бұл тіркестерде сан ұғьмы мүлдем абстрактыланған. Сол сияқты, жоғарыда қазіргі қазақ тілінде табан, бірегей сөздерінің де бар екенін айттық. Бұл сөздердің біріншісі монғол тілінде зат есімнен шығыіп бес саны ретінде қолданылса, екіншісі – бірегей, екі, екілік – теленок по второму году – деген мағынада жұмсалады. Қазақ тіліндегі бірлік, үштік, бестік, төрттік, ондық деген сияқты сөздер затттық мағына береді.
Түркі тілдеріндегі негізгі сөздік қорға жататын сан атаулары өмір шындығынан, конкретті заттан алынған, яғни зат есімдерден шыққан. Әрине, бұл – жалпы сандық ұғымдардың дамуы математика ғылымының дамуымен байланысты, адамзат қажеттігінеи туды деген пікірге ешбір қайшы келмейді, қайта оны толықтыра, растай түседі. Екіншіден, белгілі бір құбылыстың өткен тарихына қазіргісімен салыстыра, оның қазіргі формаларын зерттей отырып, ашуға, тануға болады дейтін марксистік қағиданы басшылыққа алсақ, қазіргі тілдік фактілер, мәселен жоғарыда келтірілген сандық семантикалы есімдер мен сөз тіркеетері, түркі тілдеріндегі негізгі сан атаулары зат есімдерден бөлініп шықты деген жорамалымызды жоққа шығармайды, қайта растайды.
Жаңашылдығы: Есептерді өзіндік шығара білу.
Таңдап отырған курстық жұмыстың басты мақсаты Кешенді сандардың алгебралқ тұйықталуы.
Мақсаты: Кешенді сандардың алгебралық тұйықталу әдістерін зерттеу. Әр ідісіне жеке тоқталып, мысалдар келтіріп, мазмұнын ашу. Тақырыпты нақты әрі толық аша білу.
Негізгі бөлім:
Кешенді сандардың алгебралық тұйықталуы.
F[x]- полином сақинасы х-тен f өрісінде.
Анықтама: F өрісін алгебралық тұйықталған дейміз егер оң дәрежелі полином f[x]-тен F өрісіне кем дегенде бір түбірі болса.
Теорема 1,7 Кешен сандар өрісі алгебралық тұйықталған.
Дәлелдеуі. f кез келген полином оң дәрежеліден F[x] егер f(0)=0 онда ноль полином түбірі f болады. Айталық f(0)≠0 және ойласақ m=|f(0)| r-бұндай оң сан.
(1)(∀zϵC)(|z|r→M≤|f(z)|)
Бұндай r теорема 1,1 де бар. K={zϵC│|z|≤r} Теорема 1,5 функция |f| ең кіші мәні көптікте кетеді, осындай сан aϵK бар.
(2)|f(a)|≤|f(z)| кейбіреулеріне (3) zϵK (|z|≤r_0) бөлінеді де осыдан (1) және (3) аламыз (4)(∀zϵC)(|z|≤r_0→|f(a)|≤|f(z)|) Негізінде (2)және (4)аяақтаймыз (5)∀zϵC) (|f(a)≤f(z)|)
Егер f(a)≠0 онда Даламбер леммасы бойынша кешенді сан анықталады С
|f(c)<|f(a)| (cϵC)
Мәселен соңғы теңсіздік қайшылық (5) осыған орай қашан f(a)≠0, мүмкін емес, келесі f(a)=0 кешенді сан а полином түбірі f болып келеді.
Салдар 1,8 l[x] сақинасындағы дәрежесә бір-ден артық кез-келген полином l[x]сақинасында келтіріледі.
Дәлелдеуі: fϵl[x] және deg〖f>1 1.7 теорема бойынша, aϵc осындай анықталған f(a)=0 14.1.11. теорема бойынша,(х-а)бөлінеді f бұндай полином g l[x]-te анықталған f=(x-a)*g 〗 осымен deg〖g>0〗 қаншалықты deg〖f>1.〗 Осы бейнеде,полином f сақинаға кестіреміз l[x]
Салдар 1,9 Кез-келген l[x] сақинасындағы оң дәрежелі f полиномынкешен сандар және нормаланған көбейтінді түрінде өрнектеуге болады: С-полиномның үлкен коффинсенті d1....dn-fϵC[z]-түбірлері f=C(x-d_1 )…(x-d_█(n@)
Бұл анықтама 1,8және теорема 14,2,11 полиномда өрісте жіктеу көбейтінді де нормалдау жіктемейтін көптілікте шығады.
Егер жіктелуде (1) а1,,,ат барлық әр түрлі полином түбірі f с-те, онда Бұл жіктеуді келтірсек. (2)f=c(〖x-a_(1 ))〗^k1…(x-a_m)km, k1+…km=n
Жіктеу (2) конондық жіктеу полиномы f жіктелмейтін көптілікте деп аталады ks көрсеткіш еселік түбірі〖 α〗_S деп аталады.
Салдар 1,10 Кейбір полином f оң дәрежелі n φ[x]-те комплекс түбірі бар, егер оның әрбір түбірі қаншалықты рет саналса, онда оның еселігі қайсы.
Полинома модулінің өсіуінің теориясы
Теорема 1,1 
Дәлелдеуі:
f(z)+a0+a1z+…+anzn∈ C [z], an 
n 
Модел бойынша (теорема 4, 7, 8 )
|anzn+an-1zn-1+…+a0| 
nzn|-|a0+a1z+…+an-1zn-1|
|a0+a1z+…+an-1zn-1| 
|a0|+|a1||z|+…+|an-1||z|n-1
Сосын, енді z 
1) |f(z) 
|an||z|n[1-( 
+…+ 
2) Орналастырсақ,b=max{ 
}