Решения задач для самоконтроля
Задачи для самостоятельной работы и самопроверки
Глава 1
5. С какой силой взаимодействуют между собой соседние ионы цезия и хлора в кристалле хлористого цезия.
Отв.: 1,8·10-4 дин.
6. При плавлении льда объем образующейся воды становится меньше и уменьшается при дальнейшем ее нагревании от 0 до 4°С. Как объяснить это явление на основании изменения связей молекул?
7. Сколько атомов содержится в каждой элементарной ячейке кристалла, если она является: а) простой; б) объемно центрированной; в) гранецентрированной кубической ячейкой?
13. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку в кристаллах с простой, объемоцентрированной и гранецентрированной кубической структурой?
Отв.: 1;2;4.
14. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку в кристаллах с простой и плотноупакованной гексагональной структурой?
Отв.: 1;2.
Практика 2
1.Показать, что для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой с/а = 1,633.
2. Вычислить объем элементарной ячейки в кристалле гексагональной системы с постоянными а и с.
Отв.: 
.
3. Доказать, что направление [hkl] в кубической решетке нормально к плоскости (hkl).
4. Какие плоскости в структуре гранецентрированного куба и объемноцентрированного куба имеют наибольшую плотность упаковки атомов? В каких направлениях в этих плоскостях линейная плотность расположения атомов максимальна?
5. Определить постоянную кристаллической решетки алюминия (гранецентрированный куб).
Отв.: 4,04 Å.
6. Кристалл кадмия имеет плотноупакованную гексагональную структуру с постоянными а = 2.97 Å и с = 5,61 Å. Вычислить плотность кадмия.
Отв.: 8,65 г·см-3.
7. Многие металлы могут иметь как объемноцентрированную, так и гранецентрированную кубическую кристаллическую решетку. Замечено, что переход от одной структуры к другой сопровождается лишь незначительным изменением объема. Предполагая, что в таком переходе объем вовсе не изменяется, найти отношение D1/D2, , где D1 и D2 - наименьшие расстояния между атомами металла соответственно в гранецентрированной и объемноцентрированной решетках. (Есть решение для самопроверки)
Практика 3
1.Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура 5° С, а скорость распространения звука 6×103 м×c-1 .
Отв.: 10,2 Å.
2. Какова максимальная энергия фононов в кристалле свинца, если характеристическая температура его 94 К?
Отв.: 8,2×10-2 эВ.
3. Какова удельная теплоемкость цинка при 100°С?
Отв.: 0,092 кал× г-1×град-1.
4. Удельная теплоемкость алюминия при 20° С равна 840 Дж×кг-1×К-1.Выполняется ли при этой температуре для него закон Дюлонга и Пти?
Отв.: нет.
5. На нагревание металлического предмета массой 100 г от 20 до 50° С затрачено 8300 Дж. Определить, из какого металла изготовлен предмет, если указанный интеграл температур выше характеристической температуры.
Отв.: бериллий.
6. Из уравнения 
следует, что величина 
пропорциональна 
(а, следовательно, приблизительно пропорциональна 
). В соответствии с уравнением 
частота пропорциональна квадратному корню из силовой постоянной и обратно пропорциональна квадратному корню из массы атома. Следовательно, величина должна быть больше для легких, жестких металлов и меньше для тяжелых металлов с небольшими модулями упругости. Всегда ли это справедливо? Привести примеры.
7. Вычислить удельную теплоемкость алмаза при температуре 30К.
Отв.: 1,3 ×10-4 кал×г-1× град-1.
8. Кристаллическое тело в состоянии возбуждения упругих тепловых колебаний можно рассматривать как систему N различных независимых квантовогармонических осцилляторов с одинаковой угловой частотой со (модель Эйнштейна). Вывести выражение для закона распределения системы. Вычислить среднюю энергию системы при высоких и низких температурах. Найти удельную молярную теплоемкость С для обоих предельных случаев и проанализировать справедливость модели в этих случаях.
(Есть решение для самопроверки)
9. Удельная теплоемкость решетки определенной модификации углерода зависит от температуры как T 2, а не как T 3, что обычно имеет место для твердых тел. Что можно сказать о структуре этой специфичной фазы углерода?
(Есть решение для самопроверки)
Практика 4
5. Вычислить энергию Ферми при Т = 0 К для алюминия. Считать, что на каждый атом алюминия приходится три свободных электрона. Отв.: 12 эВ.
6. Найти разницу энергий (в единицах kBT) между электроном, находящимся на уровне Ферми, и электронами, находящимися на уровнях, вероятности заполнения которых равны 0,20 и 0,80.
Отв.: -1,38 kBT и +1,38 kBT.
7. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,01 эВ ниже уровня Ферми, при температуре +18° С?
Отв.: 0,6.
8. При какой концентрации свободных электронов в кристалле температура вырождения электронного газа в нем равна 0° С?
Отв.: п = 1,86·1025 м3.
9. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электроном энергетического уровня в металле, если он расположен на 0,1 эВ выше уровня Ферми и температура изменяется от 1000 до 300 К?
Отв.: уменьшится в 11,4 раза.
10. Вычислить суммарную кинетическую энергию электронов проводимости в 1см3 цезия при 0 К.
Отв.: 1280 Дж.
11. Исходя из функции распределения электронов проводимости по энергиям, получить функцию распределения их в металле по скоростям при температурах Т = 0К и Т. Изобразить примерный вид графиков этой функции для обеих температур.
12. Определить, какая часть электронов проводимости в металле при Т = 0 С имеет кинетическую энергию, большую 0,5 ЕF. Отв.: 0,65.
14. Методом, в котором металлический образец получал механическое ускорение было экспериментально определено отношение e/m для электронов. Предполагая электроны в металле свободными, объяснить, как это можно сделать.
(Есть решение для самопроверки)
Практика 6
3. Вычислить удельную проводимость кристалла Si, если коэффициент Холла для него Rx = 7·10-4 м3·K-1.
Отв.: 390 ом-1·м-1.
4. В кристалле кремния массой 120 г равномерно по объему распределены 25,7кг фосфора и 38,2 
кг галлия. Считая, что атомы примеси полностью ионизированы, вычислить удельное сопротивление кристалла.
Отв.: 7,4·10-3 ом-1·м-1.
8. Определить подвижность электронов в германии n - типа, для которого при некоторых условиях удельное сопротивление 
= 1,6·10-2 ом·м и коэффициент Холла 7·10-3 м3·K-1 . Отв.: 0,37 м2/(В·с).
9. Найти минимальную энергию, необходимую для образования пары электрон-дырка в кристалле GaAs, если его электропроводность изменяется в 10 раз при изменении температуры от -(+20 до –3)°С.
Отв.: 1,4 эВ.
10. Сопротивление кристалла PbS при температуре 20°С равно 104 Ом. Определить его сопротивление при температуре +80° С.
Отв.: 1350 Ом.
12. Проводимость чистого полупроводника при T = 273 К равна 0,01 Cим. Из оптических измерений известно, что валентная зона лежит ниже зоны проводимости на 0,1 эВ. Вычислить проводимость полупроводника при T = 500К.
(Есть решение для самопроверки)
13. При каких условиях в полупроводнике, имеющем свободные носители заряда, не наблюдается эффект Холла?
Отв.: 
14. Определить знак, концентрацию и подвижность свободных носителей заряда в полупроводниковом образце, который обладает примесной проводимостью и сопротивлением 338 Ом. При токе 50 мА и магнитной индукции 0,1 Т э. д. с. Холла в образце 200 мВ. Размеры образца b = 0,1 мм, d = 5 мм (см. рисунок к задаче 13,).
Отв.: n = 1,8·1021 м-3, un = 2 м2·В-1·с-1.
17. Для германия эффект Холла не имеет места. Какая часть тока в образце переносится электронами, если подвижность электронов в германии равна 3500 см2/(В·с), а подвижность дырок 1400 см2/(В·с)?
(Есть решение для самопроверки)
Практика 7
1. Вычислите плотность тока термоэлектронной эмиссии j (при равном нулю электрическом поле) для вольфрама при температуре 2500К.
Отв.: 12,3 А/м2.
3. Плоский анод параллелен плоскому металлическому катоду и расположен на расстоянии 0,01 м от него. Между электродами создана разность потенциалов 1000 В. Чему равно поле на катоде? Какова величина x0 (положение максимума потенциальной энергии электрона 
) в ангстремах? Чему равно уменьшение работы выхода за счет эффекта Шоттки? Пусть катод находится при температуре 1700 К; чему равно в этом случае отношение j для данного поля к j при отсутствии поля? Считать, что пространственный заряд отсутствует.
Отв.:105 В/м; 6,0·10-8 м; 0,012 В; 1,085.
Решения задач для самоконтроля
Практика 2, задача 7.
Пусть A1 и A2 - соответствующие постоянные решеток. Тогда из простых геометрических соображений следует, что
Далее, в гранецентрированном кристалле на одну ячейку приходится четыре молекулы, в то время как в объемноцентрированном кристалле - лишь две. Так как, по предположению, изменение объема при переходе от одной структуры к другой пренебрежимо мало, то объем, приходящийся на одну молекулу, не изменяется и, следовательно, 
. Поэтому
Практика 3, задача 8.
Энергия гармонического осциллятора определяется выражением 
. Заметим, что мы пренебрегли энергией нулевых колебаний, как несущественной, но усложняющей рассмотрение. Вероятность заселения данного уровня равна
Каждая молекула имеет три моды колебаний. Следовательно,
При высоких температурах 
, где n - число молей, а R – универсальная газовая постоянная. При низких температурах
Таким образом, при высоких температурах
При низких температурах
Выражение для удельной теплоемкости при высоких температурах согласуется с эмпирическим законом Дюлонга и Пти; при низких температурах С 
0 в согласии с экспериментом. Однако зависимость С от температуры при малых Т, предсказываемая выведенным здесь выражением, не согласуется с экспериментом. Более усложненный расчет (модель Дебая) дает результат, лучше согласующийся с экспериментом.
Практика 3, задача 9.
Энергия, связанная с колебаниями решетки, определяется выражением
где 
- плотность состояний для фононов. При низких температурах именно низкочастотная зависимость определяет температурную зависимость энергии. Для трехмерной решетки
где с - скорость звука. Таким образом, 
, откуда следует, что энергия зависит от температуры как Т 4, а удельная теплоемкость пропорциональна Т 3. Однако, если твердое тело состоит из двумерных кристаллов (каким является графит), то 
, откуда следует квадратичная зависимость удельной теплоемкости от температуры. Таким образом, квадратичная зависимость теплоемкости от температуры указывает, что углерод в этой фазе представляет собой двумерный кристалл.
Практика 4, задача 14.
Пусть металлическому образцу сообщено ускорение -а. В системе координат, связанной с образцом, электроны испытывают ускорение в обратном направлении, т. е. а, и, следовательно, эквивалентное электрическое поле равно 
. Это поле создает ток с плотностью 
, который может быть измерен. Поскольку 
известно из электрических измерений, то в таком опыте можно определить величину е/т.
Практика 6, задача 12.
Проводимость определяется выражением
где 
и 
( 
и 
)
соответственно плотность и подвижность электронов (дырок). Но для чистого полупроводника 
и
Вероятность 
того, что дырка будет заселять состояние с энергией Е, равна вероятности того, что электрон не
займет это состояние, т. е.
где 
. Следовательно,
В предыдущих выражениях 
= 0,1 эВ (энергетическая щель), а 
энергия Ферми. Если 
и 
, что справедливо в данном случае, выражения для пe и пp сводятся к следующим:
Равенство пe = пp означает, что
Тогда плотность электронов проводимости равна
где А - постоянная, не зависящая от температуры. Окончательно, зависимость проводимости от температуры определяется выражением 
и, следовательно,
Выразив через соответствующую температуру, найдем, что /k = 1160 К. Окончательно 
Практика 6, задача 17.
Пусть ток течет по направлению оси у,а магнитное поле направлено вдоль оси z. Тот факт, что в германии не проявляется эффект Холла, означает, что ток в направлении оси х равен нулю. Рассмотрим электрическое поле вдоль оси у. Скорость электронов и дырок в направлении оси у соответственно дается выражениями: 
и 
. Приложенное магнитное поле действует на эти заряды с силой, направленной вдоль оси х и равной
Вследствие этого возникает поперечная составляющая скорости
и индуцируется ток, направленный вдоль оси х и равный
Очевидно, что этот ток равен нулю, когда
| (1) |
Суммарный ток в направленииоси у равен 
а часть его, переносимая электронами, равна
Воспользовавшись равенством (1), получим
