ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ

Из школьного курса математики вы знакомы с понятием непрерывной функции, как функции, график которой изображается сплошной линией. Дадим формальное определение непрерывной функции.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполнены условия:

1) f(x) определена в точке x0, то есть определено число f(x0);

2) существует конечный предел ;

3) = f(x0).

ЗАМЕЧАНИЕ.

Если условие 1) выполнено, то условия 2) и 3) равносильны условию 4) = 0.

Действительно, если выполнены условия 1) — 3), то

= – = f(x0) – f(x0) = 0.

Обратно, если определено число f(x0) и = 0, то

= = + = f(x0), то есть существует конечный предел , равный f(x0).

Введем обозначение D x = x – x0. Тогда x = x0 + D x, f(x) = f(x0 + D x) и условие = 0 можно переписать в виде = 0. Если в полученном выражении заменить точку x0 на x, получим условие непрерывности функции f(x) в точке x: = 0. Величина D x называется приращением аргумента, а разность D y = f(x + D x) – f(x) — приращением функции f(x) в точке x. Таким образом, для непрерывной в точке x функции f(x) из стремления к нулю приращения аргумента следует стремление к нулю приращения функции.

ПРИМЕР 1. f(x) = C.

1) Функция определена в каждой точке x0 числовой прямой.

4) = .

Непрерывность функции f(x) = C в произвольной точке x0 доказана.

ПРИМЕР 2. f(x) = .

1) Функция определена в каждой точке x0 числовой прямой, кроме x0 = 0.

4) = .

Непрерывность функции f(x) = в произвольной точке x0 ¹ 0 доказана.

ПРИМЕР 3. f(x) =

Заметим, что на промежутках (– ¥; 0) и (0; +¥) функция f(x) является константой и, следовательно, непрерывна в любой точке x ¹ 0.

В точке x = 0 функция f(x) определена: f(0) = 0, но не имеет предела, так как

, а . Следовательно, в точке x = 0 функция f(x) не является непрерывной.

 

2. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ

ТЕОРЕМА 1. Арифметические свойства непрерывных функций.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма f(x) + g(x), разность f(x) – g(x), произведение f(x) · g(x), а если g(x0) ¹ 0, то и частное непрерывны в точке x0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Докажем утверждение теоремы для суммы непрерывных функций. Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то они определены в точке x0 и имеют в этой точке конечные пределы, совпадающие со значениями этих функций в точке x0. Следовательно, сумма f(x) + g(x) определена в точке x0, принимает в этой точке значение f(x0) + g(x0). Предел функции f(x) + g(x) в точке x0 тоже существует, так как = + по теореме об арифметических свойствах пределов. А так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то получаем равенство = + = f(x0) + g(x0), которое окончательно доказывает непрерывность функции f(x) + g(x) в точке x0.

Для разности, произведения и частного функций теорема доказывается аналогично.

ТЕОРЕМА 2. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций.

Пусть функция u(x) непрерывна в точке x0, а функция f(u) непрерывна в точке u0, причем u0 = u(x0). Тогда функция f(u(x)) непрерывна в точке x0.

Без доказательства.

Введем понятие обратной функции.

Пусть имеется функция y = f(x), имеющая область определения D и область значений E, а на множестве E определена функция x = g(y) так, что для любых чисел x0 Î D и y0 Î E, связанных соотношением y0 = f(x0), справедливо соотношение x0 = g(y0). Тогда функция g называется обратной к функции f и обозначается f –1. Для существования обратной функции необходимо, чтобы для каждого y значение x функции f –1(y) в точке y определялось однозначно, то есть для любых различных точек x1 ¹ x2 значения y1 = f(x1) и y2 = f(x2) функции f в этих точках были тоже различны: y1 ¹ y2. Это условие выполняется, если функция f(x) строго монотонна.

ТЕОРЕМА 3. Непрерывность обратной функции.

Если функция f(x) имеет обратную функцию f –1(y) и является непрерывной в точке x0, то f –1(y) является непрерывной в точке y0 = f(x0).

Без доказательства.

Замечание. Если функция f(x) имеет обратную функцию f –1(y) и является непрерывной в точке x, то из стремления к нулю приращения Dy функции f(x) в этой точке следует стремление к нулю приращения ее аргумента Dx.

Действительно, если Dy = f(x + Dx) – f(x), то Dx = f –1(y + Dy) – f –1(y) и, в силу непрерывности обратной функции, согласно определению непрерывной функции.

ТЕОРЕМА 4. О непрерывности элементарных функций.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Докажем сначала непрерывность функций y = x, y = sin x и y = e x.

Для y = x имеем Следовательно, функция y = x непрерывна в любой точке x.

В силу теоремы об арифметических свойствах непрерывных функций и непрерывности константы функция y = kx + b тоже непрерывна в любой точке x.

Для y = sin x имеем

= = 1· .

Последнее равенство справедливо, так как Dx — бесконечно малая при , а y = — ограниченная функция. Следовательно, функция y = sin x непрерывна в любой точке x.

Функция y = cos x = непрерывна как суперпозиция непрерывных функций. Функции и непрерывны в своей области определения как частное непрерывных функций. Функции y = arcsin x, y = arcсos x, y = arctg x, y = arcctg x непрерывны в своей области определения как обратные к непрерывным функциям.

Для y = e x имеем e x ·1· 0 = 0. Следовательно, функция y = e x непрерывна в любой точке x.

Функция y = ln x непрерывна в своей области определения (x > 0) как обратная функция к непрерывной функции y = e x.

Функцию y = a x можно переписать в виде y = a x = . Это означает, что функция y = a x непрерывна в любой точке x как суперпозиция непрерывных функций.

Функцию y = log a x можно переписать в виде y = log a x = . Это означает, что функция y = log a x непрерывна в любой точке x своей области определения как частное непрерывных функций.

Функцию y = x a с произвольным показателем a можно переписать в виде y = x a = . Это означает, что функция y = x a непрерывна в любой точке x как суперпозиция непрерывных функций.

Мы доказали непрерывность всех основных элементарных функций. Остальные элементарные функции получаются из основных элементарных функций с помощью арифметических действий или в виде суперпозиции. Следовательно, они непрерывны в своей области определения.

ТЕОРЕМА 5. О сохранении знака для непрерывных функций.

Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0) > A, где A — некоторое вещественное число, то существует окрестность U(x0,d) точки x0, для каждой точки x из которой справедливо неравенство f(x) > A.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Поскольку функция f(x) непрерывна в точке x0, то существует предел , равный f(x0), и так как f(x0) > A, то > A. По теореме о сохранении знака для пределов существует проколотая окрестность (x0,d), для каждой точки x из которой справедливо неравенство f(x) > A. Добавив к этой окрестности точку x0, получим искомую окрестность: U(x0,d) = (x0,d) È {x0}. Теорема доказана.

Замечание. Если f(x0) < A, то существует окрестность U(x0,d), для любой точки x из которой справедливо неравенство f(x) < A. Докажите самостоятельно.