Достаточное условие интегрируемости

Определение неопределенного интеграла.

Если F(x)-первообразная для f(x), то выражение F(x)+C, где С-произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от ф-цииf(x).(⌠f(x)dx=F(x)+C)

Таблица основных интегралов

1) ∫dx=x+C

2) ∫xadx=(xa+1)/(a+1)+C

3) ∫dx/x=ln|x| +C

4) ∫axdx=(ax/lna)+C

5) ∫cosx=sinx + C

6) ∫sinx=-cosx + C

7) ∫dx/cos2x=tgx+C

8) ∫dx/sin2x= -ctgx + C

9) ∫dx/(√a2+x2)=(arcsinx/a)+C

10) ∫dx/(a2+x2)=(1/a)arctg(x/a) + C

11) ∫dx/(x2-a2)=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C

12) ∫dx/√(x2+K)=ln|x+√(x2+K)|+C

5. Формула замены переменной в неопределенном интеграле.Пусть ф-цияx=ѱ(t) определена и дифференцируема на промежутке T иX-множество ее значений, на котором определена ф-цияf(x). Тогда если F(x)-первообразная для f(x) на X, то F(ѱ(t))-первообразная для f(ѱ(t)) ѱ’(t)на T, т.е. на множестве T выполняется равенство: ⌠f(x)dx│x=ѱ(t)=⌠f(ѱ(t)) ѱ’(t)dt

6. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пусть u(x) и v(x)-две дифференцируемые ф-ции на промежутке X. Тогда на X выполняется формула интегрирования по частям: ⌠udv=uv-⌠vdu

Интеграла Римана.

Ф-цияy=f(x), ограниченная на отрезке [a,b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a,b]. Если ф-цияy=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом ф-цииy=f(x) по отрезку [a,b] и обозначают следующим образом: I=⌠baf(x)dx

Достаточное условие интегрируемости.

Для того , чтобы ф-цияy=f(x), определенная и ограниченная на отрезке[a,b], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого e>0, существовало разбиение T, такое, что ST-sT<e

9. Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции ограниченной линиями x=a,x=b при b>a, осью Ох и графиком неотрицательной непрерывной ф-цииy=f(x)

11. Формула Ньютона - Лейбница.Пусть ф-цияy=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x)-первообразная для f(x). Тогда ⌠baf(x)dx=F(b)-F(a)

12.Формула замены переменной в определенном интеграле.Пусть ф-цияy=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а ф-ция х=ѱ(t) определена на отрезке[α,β]и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем ѱ(α)=a, ѱ(β)=bи ѱ([α,β])=[a,b]. Тогда ⌠baf(x)=⌠βαf(ѱ(t)) ѱ’(t)dt

13. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.⌠baudv=uv│ba-⌠bavdu

14. Определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом.Пусть ф-цияy=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл ⌠+∞af(x)dx принимают предел ф-цииI(b)= ⌠baf(x)dx, когда b стремится к бесконечности:⌠+∞af(x)dx=lim⌠baf(x)dx (bк +∞)

15. Определение несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом.Пусть ф-цияy=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл ⌠b-∞f(x)dx принимают предел ф-цииI(a)= ⌠baf(x)dx, когда a стремится к бесконечности:⌠b-∞f(x)dx=lim⌠baf(x)dx (aк -∞)

18.Расстояние в . Свойства расстояния.В R1:расстояние между точками x1иx2 равно │x1 –x2│

R2:P(x1,y1) иQ(x2,y2), то ρ(P,Q)=√( y1 - x1)2+( y2 –x2)2)

R3: P(x1,y1,z1) иQ(x2,y2,z2), тоρ(P,Q)=√( x1 –x2)2+( y1– y2)2+(( z1– z2)2)

Rn: ρ(p,q)=│p-q│=√( x’1 –x’’1)2+…+( x’n– x’’n)2)

Свойства:

1.1. Ρ(p,q)>0, если p≠qи ρ(p,p)=0

1.2. Ρ(p,q)=Ρ(q,p)

1.3. Ρ(p,q)+Ρ(q,r)≥ Ρ(p,r)

19. Окрестность точки в .Пусть p0- точка в Rnи е-положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса е с центром p0называется множество всех точек, расстояние которых от p0меньше е:{pϵRn│ρ(p0,p)<e}. Шар радиуса e с центром p0, обозначаетсяB(p0,e) или U(p0). Множество Ue(p0) называют e-окрестностью точки p0

20. Внутренние и граничные точки множества.Пусть Х-множество в пространстве Rn. Точка p называется:

-внутренней точкой множества Х, если она содержится в Х вместе с некоторой своей е-окрестностью

-внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rn

- граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки.не принадлежащие Х

21. Открытые и замкнутые множества.МножествоD называется открытым, если все его точки внутренние (замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки).

Множество {M} называется замкнутым, если все граничащие точки принадлежат этому множеству.

22. Изолированные и предельные точки множества.Точка М0 называется предельной точкой множества {M}, если в любой ее окрестности существуют точки множества {M}, отличные от М0

Точка p0 ϵХ называется изолированной точкой множества Х, если у нее существует е-окрестность, в которой никаких других точек из Х кроме p0, нет.

23. Ограниченные множества.Множество XϵRn называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре. (Пусть p0- точка в Rnи е-положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса е с центром p0называется множество всех точек, расстояние которых от p0меньше е:{pϵRn│ρ(p0,p)<e}.)

24. Сходимость последовательности точек вRn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.Пусть {pn}- послед-ть точек в Rn. Эта послед-ть сходится к точке po, если числовая послед-ть {ρ(pn,p0)} имеет предел 0.Пусть p1=(x1,y1), p2=(x2,y2),…-послед-ть точек в R2. Мы скажем, что эта послед-ть сходится к точке p0=(x0,y0), если числовая послед-тьx1,x2,… сходится к числу x0, а числовая послед-тьy1,y2,…- к числу y0.