Приклад розв’язання задачі Д.1. Другий рівень складності

⇐ Назад

Тягар D маси кг, одержавши в точці А початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубі АВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами 30⁰ (частина АВ) і 45⁰ (частина ВС) (рис. 21.2).

На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги стала сила , величина якої Н, і сила опору середовища Н. Довжина ділянки АВ м. Тертям на ділянці АВ знехтувати.

Рис. 21. 2.

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги сила тертя (коефіцієнт тертя ковзання ) і змінна сила , проекція якої Н.

Тягар вважати матеріальною точкою.

Дано: кг; м/c; H; м; ; Н; H.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , де х =ВD.

Розв’язання.1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ. Покажемо на рис. 21.2 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючи сили: , і . Проводимо вісь Аy за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді:

. (1)

Далі розв’язання задачі таке, як показано в прикладі розв’язання задачі першого рівня складності.

Одержимо м/c.

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю ( ). Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: , і (рис. 21.2).

Проведемо вісь Вx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь:

; (8)

Сила тертя

Тоді

(9)

Поділимо обидві частини рівняння (9) на масу :

(10)

Розділимо змінні в рівнянні (10) і проінтегруємо:

;

(11)

Врахуємо, що , тоді

(12)

Розділимо змінні й знову проінтегруємо:

; (13)

. (14)

Для визначення сталих інтегрування С₂і С₃ використаємо початкові умови: ; ; . Тоді, підставляючи початкові умови в рівняння (11) і (14), одержимо

; (15)

(16)

Рівняння руху тягаря на ділянці ВС приймає вигляд

;

Остаточно одержимо

, м.

Відповідь: , м.

Приклад розв’язання задачі Д.1. Третій рівень складності.

На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги стала сила , величина якої H, сила опору середовища Н і сила тертя ковзання . Довжина ділянки АВ м.

Рис. 21. 3.

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги сила тертя , змінна сила , проекція якої Н, та сила опору середовища Н.

Тягар вважати матеріальною точкою.

Дано: кг; м/c; H; ; H; Н; м; ; Н.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , де х =ВD .

Розв’язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ. Покажемо на рис. 21.3 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючи сили: , , і . Проводимо вісь Аy за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді

; (1)

. (2)

Сила тертя ковзання

Тоді

; (3)

. (4)

Поділимо обидві частини рівняння (4) на :

(5)

Позначимо:

Тоді рівняння (5) приймає вигляд

(6)

Розділимо змінні в рівнянні (6) і проінтегруємо:

;

оскільки >0, то

(7)

Визначимо сталу інтегрування С₁, враховуючи початкові умови: ; м/c; .

Тоді

Одержимо

;

. (8)

При :

= 9,2 м/c.

Примітки. Див. примітки до прикладу розв’язання задачі першого рівня складності.

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю ( ). Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: , , і (рис. 21.3).