Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера

по дисциплине «Моделирование»

Специальность 1-360901 «Машины и аппараты пищевых производств»

Проверил Выполнил

студент группы

Новик В. С.

«__»_________2012г. «__»_________2012г

Могилев 2012

Задание 1

1. Постановка задачи.

По заданным экспериментальным данным из m серий измерений по n измерений в каждой серии определить характеристики a и b математической модели объекта. Проверить адекватность полученного теоретического решения по критерию Фишера.

Схема взаимодействия объекта со средой:

x y=f(x) y

Экспериментальные данные:

2. Ход решения.

Исходное уравнение кривой имеет вид:

(1)

Поделим уравнение (1) на 1 и получим:

Обозначим:

Вводя новые переменные получим уравнение

,(2)

которое является уравнением прямой.

Расчет коэффициентов в уравнении (2) ведем по методу наименьших квадратов, т.к этот метод дает наименьшую ошибку аппроксимации опытных данных. Согласно этому методу коэффициенты и определяются:

(3)

(4)

Расчёт сумм удобнее вести в табличной форме, предварительно определив средние значения функций из m серий измерений:

Подставив расчетные данные в формулы (3) и (4) получим:

Так как , то a = 2,634

Так как то b = 3,665

Таким образом искомая эмпирическая зависимость будет иметь вид:

(5)

Оценка адекватности состоит в сопоставлении полученной или предполагаемой теоретической функции с результатами измерений.

Для этого необходимо рассчитать экспериментальное (опытное) значение Критерия Фишера - и сравнить его с теоретическим (табличным) - , принимаемым при требуемой доверительной вероятности (обычно . Если – модель адекватна, если – модель неадекватна.

Экспериментальный критерий Фишера вычисляют по формуле

(6)

где дисперсия адекватности;

– средняя дисперсия всего эксперимента,

где теоретическое значение функции для каждого измерения;

– экспериментальное значение функции;

–среднее экспериментальное значение функции из m серий измерений;

n – количество измерений в одном опыте (серии);

m – количество опытов (серий);

d – число коэффициентов уравнения теоретической регрессии.

Расчет сумм удобнее вести в табличной форме, предварительно определив по формуле (5) теоретические значения функции:

Подставив расчетные данные в формулу (6) получим:

Значение принимается по таблице 2 [8] для доверительной вероятности и числа степенной свободы и .

По условию задачи n = 10, d = 2 и m = 5

Тогда и, соответственно,

Так как то модель адекватна экспериментальным данным (описываемому процессу).