Розглянемо ряд з додатними членами
( 1 )
Якщо існує границя 
, то
1) ряд ( 1 ) збігається, якщо 
2) ряд ( 1 ) розбігається, якщо 
3) якщо 
, то питання про збіжність ряду ( 1 ) залишається відкритим ( треба використати інші ознаки ).
Приклади: Дослідити ряди на збіжність.
1. 
Розв’язання. 
Знаходимо: 
, отже, ряд збіжний.
2. 
Розв’язання. 
Знаходимо: 
,
тому що 
, отже, ряд є розбіжним.
Інтегральна ознака Коші
Нехай члени ряду ( 1 )
додатні і не зростають, тобто 
, і існує така неперервна функція 
, що 
.
Тоді:
1) якщо невластивий інтеграл 
збігається, то збігається і ряд ( 1 );
2) якщо інтеграл розбігається, то і ряд ( 1 ) є розбіжним.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд Діріхле: 
.
Розв’язання. Розглянемо функцію 
а) Нехай 
, тому що 
,
отже ряд є розбіжним.
б) Нехай 
тому що 
, у цьому випадку ряд збігається.
в) Нехай 
, ряд розбігається.
Отже, ряд 
збігається, якщо 
і розбігається, якщо 
Приклади. Дослідити ряди на збіжність за допомогою інтегральної
ознаки Коші.
1) 
Розвязання. Складемо функцію 
і інтеграл 
( нижня межа інтегрування є найменшим значенням n ).
Інтеграл збігається, отже, і ряд є збіжним.
2) 
Розв’язання. 
досліджуємо інтеграл 
Отже ряд збігається.
3) 
Розв’язання. 
досліджуємо інтеграл:
.
Інтеграл розбігається, отже, і ряд є розбіжним.
Завдання для самостійної роботи
Дослідити ряди на збіжність за допомогою інтегральної ознаки Коші.
Знакопереміжні ряди
Ознака Лейбниця
Знакозмінним називається такий числовий ряд, серед членів якого є як додатні, так і від’ємні.
Частковим випадком знакозмінних рядів є знакопереміжні ряди, тобто такі ряди, в яких знаки членів строго чергуються, або ряди вигляду:
( 1 )
( 2 ), де
- додатні числа.
Теорема Лейбниця. Якщо у знакопереміжному ряді ( 1 ) члени ряду спадають 
і 
, то ряд ( 1 ) є збіжним, його сума S додатна і 
.
Окрім знакопереміжного ряду ( 1 ) можна також розглядати ряд з модулів його членів
( 3 )
Якщо ряд ( 3 ) збіжний, то ряд ( 1 ) також є збіжним.
Збіжність знакопереміжного ряду називається абсолютною , якщо збігається також ряд ( 3 ) з модулів його членів. Якщо ряд ( 1 ) збігається, але ряд ( 3 ) розбігається, то збіжність знакопереміжного ряду називається умовною.
Приклади. Дослідити ряди на абсолютну або умовну збіжність.
1. 
Розв’язання. Складемо ряд з модулів 
, досліджуємо його за ознакою Даламбера.
Знаходимо: 
.
отже, ряд з модулів збігається, а це означає, що даний знакопереміжний ряд збігається абсолютно.
2. 
Розв’язання. Ряд з модулів 
досліджуємо за ознакою порівняння.
Ряд порівняння 
- гармонічний ряд, який є розбіжним.
Знаходимо: 
, отже, ряд з модулів розбігається.
За ознакою Лейбниця 
, а це означає, що знакопереміжний ряд збігається умовно.
Завдання для самостійної роботи
Дослідити ряди на абсолютну або умовну збіжність.
Література:[ 1 ], гл. XVI, § 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
[ 2 ], гл. ІІІ, § 1.
ТДАТУ
Кафедра вищої математики