П. 3 Сходящиеся последовательности

Глава IV

Числовые последовательности

П. 1 Определение и примеры

Определение 1.Рассмотрим множество натуральных чисел и множество действительных чисел. Если , то правило такого соответствия и его результат называется числовой последовательностью и обозначается , где – общий член последовательности.

Замечание.Очевидно, что последовательность – множество значений функции натурального аргумента, т.е. .

Замечание. Существенно, что в определении последовательности аргумент пробегает все множество .

Последовательность конечного числа элементов (конечная последовательность) называют кортежем или вектором. Такие последовательности рассматривать не будем.

Способы задания последовательности

1. аналитический: ;

2. рекуррентный: .

Арифметическая прогрессия , геометрическая прогрессия , факториал , где причем , - примеры задания последовательностей рекуррентным способом.

Последовательности бывают:

1. ограниченные;

БМП (бесконечно малые последовательности);

Неограниченные;

4. ББП (бесконечно большие последовательности).

Определение 2.Последовательность называется ограниченной, если существуют такие действительные числа m и M ( ), что (для любого натурального числа n).

Определение 2*.Пусть (А – максимальное из чисел m и M). Тогда последовательность называется ограниченной, если .

Пример.Последовательность 0,1,0,1, ... ограничена, т.к.

Определение 3.Последовательность называется БМП (бесконечно малой последовательностью), если для любого положительного e (эпсилон) найдется номер, зависящий от e, такой, что, как только n>N выполняется неравенство

( )

Пример. Рассмотрим последовательность . Для того, чтобы необходимо, чтобы , т.е. ( – целая часть числа ). Задавая некоторые значения, будем получать номер , начиная с которого члены последовательности попадут в -коридор. Например, если =10, то =0, тогда =1; если =1, то =1, тогда =2; если =0,1, то =10, тогда =11, и т.д.

Замечание. Обычно БМП обозначают первыми буквами алфавита.

Пример. Последовательность ограничена, но не является БМП.

Определение 4.Последовательность называется неограниченной, если

для любого неотрицательного числа А найдется n, такой что .

( .)

Определение 5.Последовательность называется ББП, если для любого положительного М найдется номер, зависящий от М, такой, что, как только n>N выполняется неравенство ( ).

Пример. Последовательность является ББП, а последовательность является неограниченной, но не является ББП.

П. 2 Свойства БМП

Вспомним определение БМП: если для любого положительного e (эпсилон) найдется номер, зависящий от e, такой, что, как только n>N выполняется неравенство

(*) , то - БМП.

Теорема 1. Сумма двух БМП есть БМП.

Доказательство:

Пусть

- БМП. Тогда соотношение (*) имеет место для каждой из данных последовательностей. Выберем

, тогда для последовательности

найдется номер

, начиная с которого

, а для последовательности

найдется номер

начиная с которого

Рассмотрим последовательность . Пусть тогда, начиная с номера , , т.е. для , начиная с номера . Это означает, что последовательность является БМП. +

Следствие. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).

Теорема 2. БМП ограничена.

Доказательство:

Пусть - БМП. Тогда для нее имеет место соотношение (*), т.е. начиная с некоторого члены войдут в -коридор. Другими словами, из этого -коридора выпадает не более чем конечное число первых членов последовательно-

сти . Пусть , тогда , что означает ограниченность последовательности .

Теорема 3. Если - БМП, а ограничена, то последовательность является БМП.

Доказательство:

Так как -БМП, то имеет место соотношение (*). Выберем и найдем номер , начиная с которого члены последовательности войдут в -коридор, где число . Тогда, начиная с номера , будет выполняться неравенство . +

Следствие 1. Произведение двух БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).

Следствие 2.Произведение любого конечного БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).

Теорема 4. Для того, чтобы последовательность была БМП, необходимо и достаточно, чтобы была ББП.

Доказательство:

Необходимость. Пусть - ББП. Тогда имеет место соотношение (*), т.е., начиная с некоторого номера . Пусть , тогда , т.е. , что означает: - ББП.

Достаточность доказать самостоятельно.

п. 3 Сходящиеся последовательности

Определение 1.Последовательность называется сходящейся, если , где - БМП, а число . Тогда число называется пределом последовательности . Обозначается ( при , стремящимся к бесконечности, стремится к (или равно) ).

Определение 1*.Последовательность сходится к , т.е. если если для любого положительного e (эпсилон) найдется номер, зависящий от e, такой, что, как только n>N выполняется соотношение :

(**) .

Покажем, что определения 6 и 6* эквивалентны.

Пусть в смысле определения 6. Тогда , где - БМП. Следовательно, - БМП, тогда выполняется соотношение (*), т.е. . Получим соотношение (**).

Теперь пусть в смысле определения 6*. Тогда выполняется соотношение (**). Полагая , получим , которая является БМП в соответствие с соотношением (*). Тогда .

Далее ⇒