Дискретная случайная величина
Уфа 2010
УДК 51
ББК 22.14
М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 2 от 24 февраля 2010 года)
Составители: доцент Костенко Н.А., доцент Чередникова Л.Ю., доцент Авзалова З.Т.
Рецензент: доцент кафедры бухгалтерского учета и аудита Насырова А.Д.
Ответственный за выпуск: зав каф. математики доцент Лукманов Р.Л.
Введение
До сих пор мы имели дело со случайными событиями. Событие является качественной характеристикой случайного результата опыта. Случайный результат можно охарактеризовать и количественно. Количественной характеристикой случайного результата опыта является случайная величина.
Случайные величины. Функции распределения
Понятие случайной величины - одно из основных в теории вероятностей. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное, изависящее от случайных причин.
Функцией распределения случайной величины X называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что X примет значение, меньше x, т.е.
F(x) = Р( X < х ).
Функция распределения случайной величины обладает следующими свойствами:
1) Функция распределения принимает значений из промежутка [0;l]:
О ≤ F(x) 
1.
2)Функция распределения есть неубывающая функция:
F( 
)≥ F( 
), если > .
3) Вероятность того, что случайная величина X примет значение из промежутка [a;b), равна разности значений функции распределения в точках a и b:
F(a ≤ X<b)=F(b)-F(a).
4) Р(Х ≥ x) =1 - F(x).
5)Если х → + ∞, то F(x) → 1.
6) Если х → - ∞, то F(x)→ 0.
Дискретная случайная величина
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между всеми возможными значениями x1., x2, x3,… случайной величины X и их вероятностями p1, p2, p3,… (pi=P(X=xi)), причем p1+p2+p3+…=1. Закон распределения задается таблично, аналитически или графически. При табличном задании закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины X, а вторая - их вероятности:
| X | x1 | x2 
| x3 | … |
| p | p1 | p2 | p3 | … |
Для наглядности закона распределения дискретной случайной величины изображают графически, длячего в прямоугольной системе координат строят точки (xi,pi)исоединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины X .
2.1 Задача. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из урны наудачу извлекаются 3 шара; Х - число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины ипостройте многоугольник и функцию распределения.
Решение. Возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятностиp0, p1, p2, p3 подсчитываем классическим способом:
; 
; 
Закон распределения X
| X | ||||
| p | 1/35 | 12/35 | 18/35 | 4/35 |
Проверка: 1/35+12/35+18/35+4/35=1. Многоугольник распределения изображен на рисунке 1.
Найдем функцию распределения F(x).
Если x 
0, то F(x)=P(X<x)=0
Если 0<x 1, то F(x)= p0=1/35
Если 1<x 2, то F(x)= p0+ p1=1/35+12/35=13/35
Если 2<x 3, то F(x)= p0+ p1+ p2=31/35
Если x>3, то F(x)= p0+ p1+ p2+ p3=1
Таким образом,
F(x)= 
Функция распределения изображена на рисунке 2
Числовыми характеристиками дискретной случайной величины служат математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Математиеским ожиданием M[X] дискретной случайной величины X называют симму произведений всех ее возможных значений xi на их вероятности
M[X]= 
xi 
pi (1)
Свойства математического ожидания:
1) если с – постоянная, то M[c]=c;
2) M[c X]=c M[X];
3) если X и Y – независимы, то M[X Y]=M[X] M[Y];
4) M[X+Y]=M[X]+M[Y].
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
D[X]=M[(X-M[X]) 
]. (2)
Дисперсию можно вычислять по формуле
D[X] =M[X 
]-M[X] . (2’)
Свойства дисперсии:
1) Если c – постоянная, то D[c]=0;
2) D[cX]=c D[X];
3) если X и Y – независимы, то D[X+Y]=D[X]+D[Y]
Дисперсия характеризует меру рассеяния значений случайной величины вокруг математического ожидания .
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии
σ[X]= 
(3)
2.2 Задача. Три стрелка независимо друг от друга 1 раз стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка в цель равна 0,7, второго – 0,8, третьего – 0,9. Найти математическое ожидание Z числа попаданий в цель.
Решение. Пусть Xi– число попаданий в цель для i – го стрелка (i =1,2,3), очевидно
Xi 
Z=X1+X2+X3, M[Z]=M[X1+X2+X3]=M[X1]+M[X2]+M[X3]
| X1 | ||
| p | 0,3 | 0,7 |
| X2 | ||
| p | 0,2 | 0,8 |
| X3 | ||
| p | 0,1 | 0,9 |
M[X1]=0,7; M[X2]=0,8; M[X3]=0,9 
M[Z]= M[X1+ X2+ X3]=0,7+0,8+0,9=2,4.
Решите задачи самостоятельно:
2.3 Найдите математическое ожидание, дисперсию и построить функцию распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения
| X | -2 | |||
| p | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 |
(3,1; 13,89)
2.4 Случайная величина X может принимать 4 возможных значения: 
=1, 
=3, 
=4, 
=6. Вероятности появления первых трех возможных значений равны 
= 0,1, 
= 0,4, 
=0,2. Написать закон распределения случайной величины X.
2.5 Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: =2 с вероятностью = 0,3, = 4 с вероятностью =0,4 и значение с вероятностью . Найти и , зная, что M[X]=5. (9,33; 0,3).
2.6 Одновременно бросают три игральные кости. Найди математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно 2 шестерки, если общее число бросаний равно 15. (≈ 1,042)
2.7 Найти математическое ожидание М[X] и дисперсию D[X]числа X лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0.05. (5; 4,75)
2.8 Найти дисперсию дискретной случайной величины X-числа отказов элементов некоторого устройства в 20 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0.3. (4.2)
2.9 Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения и , причем | 
> | |. Вероятность того, что X примет значение 
равна 0,3. Написать закон распределения величины X, если известно, что М[Х] = 3,4; D[X]= 0,84.
2.10 В партии из 5 деталей имеется 3 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали, Составить закон распределений дискретной случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных.
2.11 Чемуравно математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании трех игральных костей? (21/2).
2.12 Дискретная случайная величина X - число мальчиков в семьях с 5 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) найдите закон распределения Х; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите вероятности событий; А - в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В - не более 3 мальчиков; С - более одного мальчика. (5/8; 13/16; 13/16 ) .
2.13 С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов, Дискретная случайная величина X - числопромахов, в) Найдите закон распределения X. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятности событий: X< 2; X ≤ 3; 1 < X ≤ 3. (0,91; 0,9919; 0,0819)
2.14 В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 - красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон распределения случайной величины X, равной числу красных карандашей в выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события: 0 < X ≤ 2. (6/7)
2.15 Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на "отлично", наугад извлекают 3 работы. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу оцененных на "отлично" работ среди извлеченных. Чему равна вероятность события X > 0?(0,6; 0,44; 58/115)
2.16 Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. (3;2)
2.17 В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите закон распределения, математическое ожидание к дисперсии случайной величины X, равной числу стандартных деталей в выборке. (1,6; 0,2855)
2.18 Бросается игральная кость до первого выпадения шестерки. Случайная величина X равна количеству бросаний кости. Найдите закон распределения случайной величины X и вероятность события X ≤ 5. (0,335)
2.19 На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них или разрешает, ил» запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. (0,656; 1,788)
2.20 Вероятность изготовления нестандартной детали 0,1. Изпартии контролер берет деталь и проверяет ее на стандартность, Если деталь оказывается нестандартной, то дальнейшие испытания прекращаются, а партия вся задерживается. Если же деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую и т.д., но всего он проверяет не более 5 деталей. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу проверяемых стандартных деталей. (4,095; 1,9889)
2.21 Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Найдите закон распределения и функцию распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора равна 0.9,
2;22 Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: х1 = 1, x2 = 2, х3 = 3, а также известны М[Х] = 2,3, M[X2] = 5.9. Найдите закон распределения величины X.