Способ представления гармонических колебаний

Метод двух узлов

Для цепей, имеющих только два узла 1 и 2.

План анализа:

Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме.

Вычислить узловое напряжение, направленное от узла 1 к узлу 2.

 

(6) МЭГ

Если в электрической цепи необходимо определить ток только в одной из ветвей, то используют метод эквивалентного генератора. Метод основан на теореме о двухполюснике, в соответствии с которой любой активный двухполюсник можно представить реальным источником ЭДС. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны. Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.

(Холостой ход) (Режим короткого замыкания: )

 

(7) Баланс мощности

Одной из наиболее общих теорем теории электрических цепей является теорема Телледжена Из теоремы Телледжена вытекает ряд следствий, важнейшим из которых является баланс мощности.Действительно, произведениеuk ik представляет собой мгновенную мощностьрk k-й ветви, поэтому сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности можно сформулировать следующим образом: сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.

Гармонические токи, напряжения, ЭДС.

Гармонические токи, и напряжения - это такие токи и напряжения, которые изменяются во времени по гармоническим законам где и(ft), i(t), e(t) - мгновенные значения напряжения, тока и ЭДС; Um,Im,Em - амплитудные значения, т.е. наибольшие значения гармонической функции; -начальная фаза напряжения,тока и ЭДС. w-круговая частота,

f-частота ,

Способ представления гармонических колебаний.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом: x(t) = Asin(ωt + φ) x(t) = Acos(ωt + φ), где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры - постоянные: А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, (ωt + φ) — полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний. Гармонические колебания можно представить несколькими способами:

аналитический:

 
 


графический:

 
 


 

 
 

 


геометрический, с помощью вектора амплитуды (метод векторных диаграмм).

       
 
 
   

 

 



(11) Гармонические колебания в резистивных, индуктивных и емкостных элементах

Гармонические колебания в резистивных элементах

Пусть через пассивный резистор проходит гармонический ток i(t)=Im sin(wt+yi).

Принимая во внимание закон Ома для мгновенных значений найдем

u=R i=R Im sin(wt+yi)=Um sin(wt+yu),

т.е. j=yu–yi=0 т.к. yu=yi и Um=R Im.

Следовательно, напряжение и ток в данном случае имеют одинаковую начальную фазу, т.е. они совпадают по фазе

Амплитуды и соответственно действующие значения гармонических колебаний напряжения и тока в резистивном сопротивлении связаны законом Ома

Im=Um/R и I=U/R.

Вся энергия, поступающая в резистивный элемент, преобразуется в тепло. Мгновенная мощность равна

 

 

Гармонические колебания в индуктивных элементах

Мгновенное напряжение на индуктивном элементе изменяется по закону

где yu=yi+p/2, j=yu-yi =yi -yi +p/2=p/2, Um=wL Im.

Следовательно, напряжение на индуктивности имеет форму гармонического колебания и опережает по фазе колебания тока на угол p/2 или, что то же, гармоническое колебание тока в индуктивности отстает по фазе от колебаний напряжения на угол p/2

 

Мгновенная мощность при этом изменяется во времени по закону

 

Амплитуды и соответствующие действующие значения напряжения и тока на индуктивности связаны соотношением, подобным закону Ома

и где X=wL – индуктивное сопротивление, Ом.

Гармонические колебания в ёмкостных элементах

Мгновенное напряжение на ёмкости изменяется по закону при U0=0.

 

(12) Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении R,L,C элементах

Рассмотрим процессы в цепи, содержащей последовательно соединенные R, L, C элементы в которых протекает ток.

Определим общее сопротивление цепи. Поскольку элементы R, L и C соединены последовательно, то комплексное сопротивление цепи равно сумме комплексных сопротивлений

где Z и - модуль и фаза комплексного сопротивления.

 

Ток , протекая по цепи , создает на ее элементах R, L и C падения напряжений UR, UL и UC, алгебраическая сумма которых равна приложенному к цепи напряжению, т.е.

Цепь с последовательно соединенными R, L, C элементами (а) и треугольники напряжений (б) и сопротивлений (в).

Формулы используются при расчетах цепей, состоящих из последовательно соединенных R, L,C элементов.

 

(13) Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении R,L,C элементах

Пусть к цепи, содержащей параллельное соединение R, L, и C элементов , приложено напряжение

Общая комплексная проводимость цепи , состоящей из последовательно соединенных элементов R, L и C, равна сумме комплексных проводимостей ее элементов G, BL и BC.

Цепь с параллельно соединенными R, L, C элементами (а) и треугольники токов (б) и проводимостей (в).

На основании треугольников токов и проводимостей можно записать следующие формулы:

 

(14) Символический метод расчета цепей в разветвленных электрических цепях

Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока в общем случае возможен только с использованием представления токов, напряжений и параметров цепи комплексными числами. Это позволяет исключить тригонометрические функции из уравнений, описывающих электрическую цепь и сделать их линейными. Так как при этом все величины заменяются их изображениями или символами, то этот метод носит название символического.Последовательность операций в символическом методе в общем случае следующая:

1)преобразование всех величин и параметров электрической цепи в их изображения комплексными числами;

2)преобразование исходной электрической цепи в символическую схему замещения, где все величины и параметры представлены изображениями;

3)эквивалентные преобразования схемы замещения (если требуется);

4)определение искомых величин в области изображений;

5)преобразование искомых величин в оригиналы (если требуется).

 

Символическое изображение синусоидальных функций комплексными величинами

Любую гармоническую функцию можно изобразить в виде вектора а каждому вектору можно поставить в соответствие комплексное число

Существуют три формы записи комплексного числа

- показательная (А - модуль комплексного числа, j - его аргумент);

- тригонометрическая;

- алгебраическая (а - вещественная часть, б – мнимая часть).

(15) Мощность в цепи синусоидального тока

Мгновенной мощностью называют произведение мгновенного напряжения на входе цепи на мгновенный ток.

Среднее арифметическое значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P. Эта мощность измеряется в ваттах и характеризует необратимое преобразование электрической энергии в другой вид энергии, например, в тепловую, световую и механическую энергию.

- мгновенная мощность в активном сопротивлении;

- мгновенная мощность в реактивном элементе (в индуктивности или в емкости).

Максимальное или амплитудное значение мощности p2 называется реактивной мощностью

где x - реактивное сопротивление (индуктивное или емкостное).

Реактивная мощность, измеряемая в вольтамперах реактивных, расходуется на создание магнитного поля в индуктивности или электрического поля в емкости. Энергия, накопленная в емкости или в индуктивности, периодически возвращается источнику питания.

Полная мощность, измеряемая в вольтамперах, равна произведению действующих значений напряжения и тока:

где z - полное сопротивление цепи.

Полная мощность характеризует предельные возможности источника энергии.

Возьмем треугольник сопротивлений и умножим его стороны на квадрат тока в цепи. Получим подобный треугольник мощностей

 

Из треугольника мощностей получим ряд формул:

Активная мощность всегда положительна. Реактивная мощность в цепи, имеющей индуктивный характер, - положительна, а в цепи с емкостным характером - отрицательна.

 

(17) Топографические и векторные диаграммы

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин.

Векторная диаграмма для RLC-цепочки. (Стрелки в нижней части рисунка не являются векторами векторной диаграммы, а лишь показывают участки цепи, напряжения на которых соответствует векторам с таким же буквенным обозначением и цветом в верхней части рисунка, как раз и являющейся собственно векторной диаграммой).

 

Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы.

 

(18) Комплексные входные и передаточные функции электрических цепей

С анализом работы линейных электрических цепей тесно связаны такие понятия, как входные и передаточные функции.

 

К входным функциям относят комплексное входное сопротивление линейной электрической цепи, определяемое как отношение напряжения и тока со стороны одноименных зажимов

и комплексная входная проводимость

В этих формулах и – модули входного сопротивления и входной проводимости соответственно; – фазовый сдвиг между током и напряжением

Формально под передаточной функцией подразумевается комплексный переменный коэффициент, устанавливающий линейную алгебраическую зависимость между выходной величиной (ток или напряжение в цепи) и входной величиной (ток или напряжение, подаваемые к входным зажимам). Так, если существует линейная зависимость

, то величина определяется как передаточная функция цепи. Математически эта функция представляется, как правило, в виде рациональной дроби комплексной переменной

коэффициенты полиномов числителя и знаменателя которой определяются через параметры R, L и C самой цепи, т. е. являются вещественными положительными числами. На конкретной частоте передаточная функция есть комплексное число

где ее модуль, определяющий отношение действующих или амплитудных значений выходного и входного сигналов, а аргумент, выражающий фазовый сдвиг между начальными фазами

 


(19) Явление взаимной индукции. ЭДС и напряжение взаимной индукции

Взаимоиндукция (взаимно индукция) — возникновение электродвижущей силы (ЭДС) в одном проводнике вследствие изменения силы тока в другом проводнике или вследствие изменения взаимного расположения проводников. Взаимоиндукция — частный случай более общего явления — электромагнитной индукции. При изменении тока в одном из проводников или при изменении взаимного расположения проводников происходит изменение магнитного потока через (воображаемую) поверхность, "натянутую" на контур второго, созданного магнитным полем, порожденным током в первом проводнике, что по закону электромагнитной индукции вызывает возникновение ЭДС во втором проводнике. Если второй проводник замкнут, то под действием ЭДС взаимоиндукции в нём образуется индуцированный ток. И наоборот, изменение тока во второй цепи вызовет появление ЭДС в первой. Направление тока, возникшего при взаимоиндукции, определяется по правилу Ленца. Явление взаимоиндукции широко используется для передачи энергии из одной электрической цепи в другую, для преобразования напряжения с помощью трансформатора.

Электродвижущая сила (ЭДС) — физическая величина, характеризующая работу сторонних (непотенциальных) сил в источниках постоянного или переменного тока. Величина ЭДС индукции в контуре определяется выражением

 

(20) Последовательное и параллельное соединение индуктивно связанных элементов