Тема: Похідна та її застосування
Головні питання:
1. Число b називається границею функції f(x) у точці х = а, якщо для будь-якого додатного числа е можна вказати таке додатне число 
, що для всіх значень х із проміжку (а - ; а + ), крім, можливо, самої точки х = а, справджується нерівність 
< 
.
2.Якщо кожна з функцій f(х) і g(x) має границю в точці а, то в цій точці існують границі функцій f(х) + g(x), f(x) 
g(x), kf(х), 
(g(x) 
і мають місце нерівності:
3. 
= 
f(x) + g(x);
2) 
= f(x) g(x);
3) kf(x) +k f(x);
4) 
= 
, якщо 
.
4.Функція називається неперервною в точці Х0, якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці Х0.
5. Похідною функції f(х) у точці Х0 називають границю відношення і приросту функції в точці Х0 до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує:
|
6. Правила та формули диференцювання
|
7. Якщо у = f(u), де u = h(x), то у' = у'u 
u'.
у1 = k = tg 
- геометричний зміст похідної. v = s'(t); a(t) - v'(t) - механічний зміст похідної. у - У0 = f (х0)(х - х0) - рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці Х0.
8.Якщо похідна функції в кожній точці деякого проміжку додатна, то функція на цьому проміжку зростає.
9. Якщо похідна в кожній точці проміжку від’ємна, то функція на цьому проміжку спадає.
10. Якщо похідна в кожній точці проміжку тотожно дорівнює нулю, то на цьому проміжку функція стала.
Тема: Інтеграл та його застосування
Головні питання:
1. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо для коленого значення х із цього проміжку F’(x) = f(x).
2. Наприклад, функція х2 є первісною для функції 2х, бо (х2)' = 2х.
3 . Кожна первісна для функції f(x) має вигляд F(x) + С, де F(x) - одна з цих первісних, а С - довільне число.
4. Графіки будь-яких двох первісних для функції f(x) такі, що їх можна сумістити паралельним перенесенням уздовж осі ординат.
5. Операцію знаходження первісних називають інтегруванням функції. Ця операція обернена до диференціювання.
6. Первісні функції f(x) можна знаходити за формулами, наведеними в таблиці.
7. Якщо F(x) і G(x) - первісні для функції f(x) і g(x), то F (x) + G(x) — первісна для f(x) + g(x),
8. Якщо F(x) - первісна для функції f(x), a k 
О, b - сталі, то:
kF(x) - первісна для функції kf(x);
F(kх + b) первісна для функції f(kx+b);
9. Площа підграфіка функції (або криволінійної трапеції) f(x) на проміжку [а; b] дорівнює F(b) - F(a), де F(x) - первісна для функції f(x) на
[а; b].
10. Інтегральною сумою є 
х f(Х1)+ х f(Х1)+ ... + х f(Хn).
11. Границю інтегральної суми х f(Х1)+ х f(Х1)+ ... + х f(Хn). функції f(x) на [а; Ь], якщо n 
, називають визначеним інтегралом функції f(x) від 
до b і позначають символом 
12. Формулу Ньютона-Лейбніца 
= F(b) - F 
) називають також основною формулою математичного аналізу.
13. За допомогою визначених інтегралів розв’язують багато важливих задач, які зводяться до визначення границь інтегральних сум.
Тема: Вектори у просторі
Головні питання:
1. Прямокутна система координат дає можливість встановити взаємно однозначну відповідність між точками простору і трійками дійсних чисел: А(х, у; z) - точка з абсцисою х, ординатою у і аплікатою z.
2.Квадрат відстані між двома точками дорівнює сумі квадратів різниць їх відповідних координат.
3. Якщо точка С(х, у; z) - середина відрізка з кінцями А (x1 ; y1; z1 ) і В(x2 ; y2; z2 ), то
Х= 
, У = 
, Z = = 
4. Рівняння площини: 
х + bу + сz + d = 0.
5. Рівняння сфери радіуса r:
З центром у сфері координат -
+ 
+ 
= 
;
З центром у точці А ( ; b; с) –
+ 
+ 
6. Вектор – елемент векторного простору. Зображати ненульові вектори можна напрямленими відрізками. Будь-які вектори зручно зображати в координатній формі. Координатами вектора з початком у точці А( 
) і кінцем у точці В( 
) називають числа х = 
; у = 
; z = 
. Записують так: 
= (х; у; z).
7. Модулем вектора називають довжину напрямленого відрізка, що його зображає. Позначають його символом 
або 
.
8. Якщо 
= (х, у; z), то = 
.
9. Сумою двох векторів 
( ) і 
= ( ) називають вектор 
; 
).
10. Для додавання будь-яких векторів правильними є переставний і сполучений закони. Геометрично додавати вектори можна за правилом трикутника, паралелограма або паралелепіпеда.
11. Як би не розміщувалися в просторі точки А, В, С, D, завжди + 
+ 
= 
.
12. Різницю двох векторів 
( 
) і 
= ( 
) можна знаходити, користуючись рівністю 
; 
).
13. Будь-який вектор = (х, у; z) можна множити на довільне дійсне число k так: 
= (kх, kу; kz).
14. Для будь-яких векторів 
і чисел m, n завжди
m = ( 
= 
+ 
; (m+n) 
= + 
; 
.
15. Скалярним добутком двох векторів називають добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними:
= 
.
16. Якщо ( ) і 
= ( ), то 
; 
.
Тема: Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
Головні питання:
1. Задачі, в яких треба визначити, скільки різних підмножин або упорядкованих підмножин можна утворити з елементів даної множини, називають комбінаторними задачами.
2. Якщо елемент деякої множини А можна вибрати т способами, а елемент множини В - п способами, то елемент з множини А або з множини В можна вибрати т + п способами. Це - правило суми.
3. Якщо перший компонент пари можна вибрати т способами, а другий - п способами, то таку пару можна вибрати тп способами. Це - правило добутку.
4.Добуток усіх натуральних чисел від 1 до п називають n-факторіалом і позначають п!.
5.Упорядковану k-елементну підмножину n-елементної множини називають розміщенням з k елементів по п. їх кількість позначають 
.
Для будь-яких натуральних п і k (n 
k)
= n(n-1) …(n-k+1).
6. Число розміщень з п елементів по k дорівнює добутку к послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n.
7.Розміщення з га елементів по га називають перестановками з п елементів. їх кількість позначають Рп.
8.Кількість перестановок з n елементів дорівнює n!: Рп = n!.
Комбінацією з п елементів по k називають будь-яку k-елементну підмножину n-елементної множини. Кількість комбінацій з га елементів по k позначають 
:
= 
9. Статистика - це наука про збирання, обробку та вивчення різних даних, пов’язаних з масовими явищами, процесами та подіями.
10. Мода вибірки - її варіанта з найбільшою частотою.
11. Медіана вибірки - число, яке «поділяє» відповідний варіаційний ряд навпіл.
12. Середнім значенням вибірки називають середнє арифметичне всіх її варіант.
13.Елементарною подією називають кожен можливий наслідок імовірнісного експерименту. Множину всіх можливих наслідків експерименту називають простором елементарних подій і позначають грецькою буквою Q (омега).
14. Ймовірністю випадкової події А називають відношення кількості п(А) сприятливих для події А- елементарних подій до кількості всіх рівноможливих і попарно несумісних елементарних подій, які утворюють простір елементарних подій для даного випробування:
Р(А) = 
Таке означення ймовірності називають класичним.
15. Найважливіші властивості ймовірності випадкової події:
1) якщо С подія неможлива, то Р(С) = 0;
2) якщо В - подія достовірна, то Р(В) = 1;
3) якщо X - подія випадкова, то 0 < Р(Х) < 1;
4) якщо Еіг Е2, Е3, ..., Еп -елементарні події, що вичерпують деяке випробування, тоP(E1) + Р(Е2) + Р(Е3) + ... + Р(Ег) = 1.
16. Якщо в п випробуваннях подія А відбувається т разів, то дріб — визначає відносну частоту події А. У багатьох реальних випадках зі збільшенням п відносна частота події стабілізується і дедалі менше відрізняється від деякого числа р (коли п , то 
р). Таке число р називають імовірністю події А. Це — статистичне означення ймовірності.