Задания для самостоятельного решения

Пояснения к работе.

Математическая статистка изучает методы обработки статистических данных. Под статистическими данными понимают совокупность чисел, полученных в результате опытов, наблюдений, опросов и т.д., количественно характеризующих какой-либо признак (признаки) изучаемых объектов. Множество числовых значений этого признака для всех объектов изучаемой совокупности называют генеральной совокупностью.Выборочной совокупностью ( выборкой) называют множество числовых значений признака группы объектов, случайным образом отобранных из всей совокупности рассматриваемых объектов.

Наблюдаемые числовые значения признака называют вариантами. Пусть в выборке, содержащей n элементов, встречаются k разных значений (вариант) некоторого признака: х1, х2,…хк. Количество раз, которое в результате проведения исследований наблюдалась каждая из вариантов, соответственно обозначим n1, n2, …nk. Очевидно, что

 

n= n1+n2+…+nk.

числа n1, n2, …nk называют частотами, а отношения ; - относительными частотами или частостями вариант.

Перечень вариант выборки с указанием соответствующих им частот называется статистическим распределением выборки.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (хi, ni).

Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi,wi). В случае, когда статистическое распределение выборки задано в виде интервалов значений вариант и их частот, геометрическое представление о характере выборки можно получить с помощью гистограмм. Гистограммой частот называют фигуру, состоящую из прямоугольников длиной h, равной величине интервала частот, и высотой . Если в качестве высоты прямоугольников рассматривать отношение , получим гистограмму относительных частот.

 

 

Числовыми характеристиками выборки являются выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Рассмотрим выборку, имеющую следующее статистическое распределение:

 

xi x1 x2 xk
ni n1 n2 nk

 

Выборочной средней данной выборки назовём среднее арифметическое всех значений xi:

Аналогичным образом для генеральной совокупности со следующим статистическим распределением:

 

xi x1 x2 xk
Ni N1 N2 Nk

 

определяется генеральная средняя:


Выборная дисперсия Дв вычисляется по формуле:

 

Аналогично определяется генеральная дисперсия Дr:

 

Решение типовых задач.

 

Имеется выборка, содержащая 100 числовых значений некоторого признака

 

 

По приведённым данным требуется:

а) сгруппировать варианты значений признака по нескольким интервалам и получить таблицу статистического распределения выборки;

б) построить гистограмму частот;

в) считая xi равными значению середины каждого интервала, построить полигон частот, найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

 

Решение:

а) Разобьём возможные значения признака на 7 интервалов с шагом h=10, определим для каждого интервала его середину xi и количество ni, попадающих в него вариант.

Результаты запишем в следующую таблицу:

 

Интервал (10;20) (20;30) (30;40) (40;50) (50;60) (60;70) (70;80)
xi
ni

 

б) По данным, полученным в пункте а, построим гистограмму и полигон частот.

 

       
   
 
 

 


в) Найдём выборочную среднюю и выборочную дисперсию: = 43,5

 

( 9 (15-43,5)2+14 (25-43,5)2+17 (35-43,5)2+28 (45-43,5)2+ +14 (55-43,5)2+11 (65-43,5)2+7 (75-43,5)2 )=

 

Задания для самостоятельного решения.

№1. Выборка задана своим статистическим распределением. Постройте полигон частот и полигон относительных частот, найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

 

а)

xi
ni

 

 

б)

xi
ni

 

 

№2. Имеется выборка, содержащая 50 числовых значений некоторого признака. По приведённым данным требуется:

а) сгруппировать варианты значений признака по нескольким интервалам и получить таблицу статистического распределения выборки;

б) построить гистограмму частот;

в) считая xi равными значению середины каждого интервала, построить полигон частот, найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

а)

 

б)

 

в)