ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

Общий вид линии второго порядка:

. (1)

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

 

Окружность

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

(2)

где - радиус окружности, и - координаты центра окружности.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение имеет вид

(3)

Рис. 2

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бóльшая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат и с фокусами в точках и :

(4)

где и - полуоси эллипса, с – полуфокусное расстояние. Коэффициенты эллипса связаны соотношением

Рис. 3

 

Если центр эллипса находится в точке , то уравнение эллипса имеет вид:

(5)

 

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение гиперболы с центром в начале координат и с фокусами в точках и имеет вид:

(6)

где - действительная полуось,

- мнимая полуось.

Коэффициенты и гиперболы связаны соотношением .

Прямые - асимптоты гиперболы.

Рис. 4

 

Если центр гиперболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

(7)

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:

, (8)

где - расстояние между фокусом параболы и прямой линией, называемой директрисой. Фокус параболы имеет координаты .

Рис. 5

 

Если вершина параболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

(9)

Задача 1. Составить уравнение геометрического места точек, равноотстоящего от оси Оу и точки .

Решение: Возьмем на искомой линии произвольную точку . Расстояние точки М от точки F определится по формуле расстояния между двумя точками:

Расстояние точки М до оси Оу определится:

Так как по условию , то искомая кривая имеет уравнение:

Линия, определяемая полученным уравнением является параболой.

Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F(-1; 0) и до прямой х = -9 равно 1/3.

Решение: Возьмём на искомой кривой произвольную точку .
Её расстояния от точки и прямой составляют

Из условия задачи следует:

Таким образом, искомая кривая имеет уравнение:

Приведём это уравнение к каноническому виду:

- это уравнение эллипса с полуосями:

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Определители

Определитель второго порядка, соответствующий таблице элементов определяется разностью и обозначается:

Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов

определяется равенством:

 

Минором любого элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие этот элемент.

 

Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на где - сумма номеров строки и столбца этого элемента.

Определитель третьего порядка можно вычислить диагональным способом. Для этого к определителю последовательно приписываются справа первый и второй столбцы. Произведения элементов, стоящих на главной диагонали, а также на двух параллелях к ней, берутся со знаком плюс; произведения элементов побочной диагонали и на двух параллелях к ней берутся со знаком минус. Алгебраическая сумма этих шести произведений дает определитель третьего порядка

 

 

 

Примеры. Вычислить определители:

а)

б)

в)