Площадь криволинейной трапеции

Если f: [a;b] -> R – неотрицательно интегрируемая ф-ция, то криволинейная трапеция A = {(x;y)єR²: a x b; y=f(x)} – квадрируема и её плошадь равна интегралу: (A) = (ab)f(x)dx (1) Док-во:

Покаждому разбиению Т = {a=X0 < … < Xk < … < Xn = b} отрезка [a;b] построим ступенчатые прямоуг фигуры, впис в криволинейную трапецию и опис около неё. Площади этих фигур равны соответственно нижней (f,T) и верхней (f,T) суммам Дарбу. В силу критерия интегрируемости вып-тся: Lim[(f,T) - (f,T)] = 0 при (T)->0.В частности: V>0 сущ-т T: 0 (f,T) - (f,T) < . Это означает, что для криволинейной трапеции вып 1ый критерий квадрируемости , значит она квадрируема. Для нах её площади (А) запишем нерав-во: (f,T) (А) (f,T) (2). Т.к. Lim (f,T) = Lim(f,T)= (ab)f(x)dx, то в передел из (2) получ (1)

09. Сходиость в R посл-ти векторов Хk = (X k 1 … X k n) к вектору А=(a1 … ak) равносильна по координатной сходимости, т.е. (Lim Хk = А) ó (Vi=1…n: Lim Xki = Ai) при k->+ Док-во:Применяя к (Хk – А) нерав-во | Xi | |Х| |Хk| имеем Vi=1…n: { |Хk – А| |Xki = Ai | { |Хk – А| (i=1…ki) |Xki = Ai| Из верхнего нерав-ва получ, что если послед (Хk) k=1…+ сход к А, то Vi (Xki) k=1…+ сход к Ai. Аналогично из нижнего нервав-ва вытекает, что если сход все вещ послед сход к числам Ai, то сход и векторная посл-ть (Хk) k=1…+ к А

10 Достаточное условие локал экстремума

Пусть А – стационарная точка скалярной ф-ции f и в этой точке сущ-т 2ой диф-л: d²f(A,H). Если d²f(A,H): 1 полож опр-на, то f имеет в т. А строгий локал min 2 отриц опр-на, то f имеет в т. А строгий локал max 3 неопр-на то в т. А ничего нет Док-во:Разложим ф-цию f по формуле Тейлора в U(A) : f(A+H)=f(A)+df(A,H)+1/2!d²f(A,H)+r(H) (1). Здесь df(A,H) =0, т.к. А - стационарная точка. Т.к. r(H) = o(|H|²) при H->0, то r(H) можно представить виде: r(H)= |H|²*(H), где (H)->0 при H->0. Т.о. если положить H=t*|L|, где |L|=1, t>0, то на основ (1) приращ f(A,H) ф-ции f в т. А можно представить виде: f(A,H)=f(A,H)-f(A)=t²/2* [d²f(A,L)+(t*L)] (2). Далее можно показать, что при достаточно малых t знак f(A,H) совпад со знаком d²f(A.H) из этого вытекает следуемое.

11. Крит. сход-сти ряда с неотриц. Членами

12. Интегральный признак Макларена-Коши

Пусть f:[1, +) є R – полож убыв ф-ция, тогда сход ЧР f(k) равносильно сущ-нию конечного предела LimF(x) первообразной F(x) для ф-ции f(x)

Док-во:

Т.к. f- монотонная ф-ция, то она имеет непрерывную первообразную в виде интегралов: F(x)=(1x)f(t)dt на любом интервале вида 1 < x < A. Кроме того F(x) монотонно возрастает на (1, +) и следовательно сущ-т конечный или бесконечный предел Lim((1x)f(t)dt)). Т.к по условию f – убыв ф-ция , то VkєN вып-тся нер-ва:

F(k+1) f(x) f(k), Vxє[k; k+1].Интегрируя эти нерав-ва имеем: (k,k+1)f(x)dx (k,k+1)f(x)dx (k+0,k+1)f(x)dx, Т.е. f(k+1) (k,k+1)f(x)dx f(k), kєN.Суммируя почленно послед нерав-во получ : f(k+1 ) (k,k+1)f(x)dx f(k). Если Sn = f(k) – частная сумма ряда fk, то Sn – f(1) (1n)f(x)dx Sn-1 . отсюда заключаем, что сущ-ние конечного предела Lim Sn равносильно сущ-нию конечного предела Lim(1n)f(x)dx, а это равносильно сущ-нию конечного предела первообразной Lim((1x)f(t)dt) (ибо первообразная монотонна)

13. Признак Коши (с корнем)

Пусть аn – ряд с неотрицательными членами для кот верхний передл равен q, тогда если:

1 q < 1 – ряд сходится

2 q > 1 – ряд расход

3 q = 1 необход дополнит исследование

Док-во:

1Если q < 1, то выберем >0 так, чтобы q + < 1. Т.к. q=Limsup{an ,…} ,то начиная с нек номера вып-но нерав-во: sup{an ,…} < q+ = q и значит для тех же n an < q, или an < q. Т.к. 0 < q < 1, то ряд q - сход, тогда по можерантному признаку сравн исходн ряд так аже сход

2Пусть q > 1. По св-ву верхних переделов сущ-т посл-ть (nk)->+ такая, что Limk ank = q > 1 =>

ank 1 нач с нек номера k и не вып-тся необход условие сход ряда, т.е. исходный ряд расх

3При q = 1 ряд может как сход, так и расход.

14. Признак Даламбера

15. Признак Лейбница

16. Признак Дирихле