Сформулировать свойства числовых последовательностей и проиллюстрировать их на примерах

1) Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего. 2) Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего. 3) Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n+T . Число T называется длиной периода. 4) Последовательность a₁, a₂, a₃, … называется ограниченной, если для ее такое число С, что неравенство |a_n| C выполняется для всех номеров n.

Билет 12.

Дать определение предела числовой последовательности; определения бесконеч-но малых (б.м.) и бесконечно больших (б.б.) числовых последовательностей. Рас-сказать о связи б.м. и б.б. числовых последовательностей.

Число а называется пределом числовой последовательности{x_n}, если для любого сколь угодного малого положительного числа £ существует номер n₀ такой, что все элементы последовательности с номерами n>n₀ удовлетворяющие неравенству |x_n - a|< £.

Число а называется пределом числовой последовательности {x_n}, тогда и только тогда, когда вне любой £-окрестности точки а находится лишь конечное число элементов этой последовательности

Если предел числовой последовательности конечный, то последовательность называется сходящейся. Если предел числовой последовательности бесконечный или не существует называется расходящейся.

Бесконечно малая числовая последовательность – это последовательность, предел которой равен нулю.

Х_n = 1/n, n = 1,2…. – является бесконечно малой.

Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

{X_n} = ∞

Связь бесконечно малой и большой числовой последовательности.

Теорема без доказательства.

Если {X_n} – бесконечно большая последовательность, то {1/X_n} является бесконечно малой последовательностью ¹/_{бесконечность} → 0; Если {X_n} – бесконечно малая последовательность и все элементы последовательности отличны от 0, то последовательность {1/X_n} является бесконечно большой последовательностью ¹/_→0→∞.

Билет 13.

Дать определение сходящейся числовой последовательности. Сформулировать арифметические действия со сходящимися числовыми последовательностями. Доказать одно из перечисленных свойств.

Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.

1) Сумма двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей u. Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}. Тогда:

X_n=а+a n, y_n=b+b n, где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n+y_n) - (а + b) =a_n+b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n + y_n) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последовательность {х_n + y_n} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

2) Разность двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей u.

3) Произведение двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей u.

Билет 14.