Индексы цен в модели межотраслевого баланса
Лекция №6
Предположим, что по отношению к межотраслевому балансу (см. табл.1) в будущем году прогнозируется изменение цен в каждой отрасли j и pj раз по отношению к текущему году при тех же натуральных значениях векторов X и Y. Величины pj называются индексами изменения цен.
Таблица 1 - таблица межотраслевого баланса производства и распределения продукции, работ и услуг
Тогда в таблицу МОБ можно ввести индексы цен и получить новую таблицу (табл. 2), по которой можно построить модель равновесных цен.
Таблица 2 - Межотраслевой баланс с учетом индекса цен
| Отрасли | Промежуточное потребление | Конечный продукт | Валовый продукт |
| 1 2 … n | |||
| N | p1X11 … 2X1n p2X21 … 2X2n … PnXn1 … pnXnn | p1Y1 p2Y2 … pnYn | p1X1 p2X2 … pnXn |
| Добавленная стоимость | p1Z1 … pnZn | ||
| Валовый продукт | p1X1 … pnXn |
В этой таблице также выполняются балансовые соотношения:
(1)
(2)
где 
-новые значения добавленной стоимости.
Разделив соотношения (1) и (2) на Xj, получим уравнения для вектора индексов цен (модель разновесных цен):
(3)
, (4)
где
.
Формулы (3) и (4) называются моделью равновесных цен.
Модель равновесных цен позволяет прогнозировать цены на продукцию отраслей при известных значениях величин норм добавленной стоимости. Кроме того, модель равновесных цен позволяет прогнозировать изменение цен инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отрасли.
Замечание: В модели равновесных цен неявно предполагается, что в регионе есть все отрасли производства и поэтому межотраслевые связи региона определяют всю систему отраслевых индексов.
Поскольку межотраслевой баланс разрабатывается в ценностном выражении, то параметры aij и dj рассчитываются на 1 руб продукции отрасли. В этом случае pj – это не цены на единицы физических выпусков, а индексы изменения тех цен (условных единиц), по которым разрабатывается межотраслевой баланс. В исходном межотраслевом балансе все величины pj равны единице и полные затраты добавленной стоимости модели (3,4) также равны единице по каждой отрасли.
В матричном виде уравнения (3,4) запишутся как
(5)
(6)
где 
вектор-строка индексов цен; 
вектор-строка долей добавленной стоимости в валовом выпуске отраслей в новом варианте межотраслевого баланса.
Соотношения (5,6) эквивалентны условию равенства целевых функций прямой и двойственной задач линейного программирования.
При выполнении первого соотношения (5) второе выполняется тождественно. Действительно, из (5) получаем соотношение:
(7)
Подставляя его во второе соотношение (6), получим
(8)
Таким образом, для определения вектора индексов цен достаточно решить систему уравнений (7), откуда получаем
(9)
или
(10)
где T-символ транспонирования, векторы p и d являются строками, а векторы pT и dT являются столбцами.
Если матрица A продуктивна, то уравнения (9) и (10) имеют положительное решение p>0, если d>0.
Обозначим через
Из табл. 2 следует, что модель Леонтьева будет иметь вид:
, (11)
где
.
Таким образом, коэффициенты прямых затрат нового межотраслевого баланса выражаются через старые коэффициенты и индексы цен следующим образом:
. (12)
Методика работы с моделью цен в регионе в большой степени определяются возможностями региона влиять на ценообразование.
Большинство цен формируется на внутрирегиональном, а на межрегиональном, национальном и мировом рынках. Изменение таких «внешних» цен оказывают существенное влияние на величины добавленной стоимости почти во всех отраслях экономики региона.
При этом в большинстве регионов сохраняется также некоторое множество товаров и услуг (в частности, нетранспортабельных или малотранспортабельных), цены на которые формируются в регионе. При регулировании этих цен необходимо знать последствия для величин добавленной стоимости во всех отраслях, а также для других «региональных» цен.
Таким образом, модель цен в регионе имеет смысл использовать только при смешанном составе неизвестных pj и rj.
По отношению к уравнениям (5,6) могут быть поставлены и решены три задачи:
а) при заданном векторе d найти вектор p;
б) при заданном векторе p найти d;
в) при заданной части переменных векторов p и найти остальные переменные.
Пример:
В условном регионе имеются три отрасли. В третьей отрасли уровень цен может регулироваться. Другие две отрасли этого региона, будучи сильно вовлечены в межрегиональный и международный обмен, имеют экзогенные цены. Известна также матрица коэффициентов прямых материальных затрат:
Определите индекс изменения цен в третьей отрасли региона и доли добавленных стоимостей в валовом выпуске первых двух отраслей.
Решение:
Система уравнений равновесных цен примет вид:
Принимая цены p1 и p2 «внешними», а цену p3-«внутренней», т.е. регулируемой в регионе, приходим к следующей задаче:
Экзогенные (задаваемые или известные) величины-p1, p2, d3.
Искомые величины (неизвестные) - p3, d1, d2,
Первый вариант. Пусть 
, 
, 
. Тогда
Из 3-го уравнения системы находим 
, 
. Подставляем p3=1 в 1-е и 2-е уравнения:
Таким образом, p1, p2, d3 равны фактическим значениям из исходного межотраслевого баланса.
Второй вариант. Допустим, что «внешние» цены увеличились на 30%, а коэффициент добавленной стоимости в третью отрасль не изменился.
Получаем систему уравнений
Таким образом, значение p3 увеличивается на 9,5 %, в большей степени увеличиваются коэффициенты добавленной стоимости d1 и d2.
Проанализируем влияние изолированного регулирования величин p1 и d3. Принимается, что остальные экзогенные переменные фиксируются на исходном уровне.
Влияние увеличения p1: ( , )
| р1=1,0 | р1=1,5 | р1=2,0 | р1=2,5 | |
| р3 d1 d2 | 1,0 0,5 0,4 | 1,053 0,962 0,264 | 1,105 1,424 0,129 | 1,211 2,347 -0,142 |
При увеличении р1 естественно быстро увеличивается d1, медленно растет р3 и монотонно снижается d2. При р1=3 валовая добавленная стоимость в отрасли «Готовая продукция» отрицательна, что означает финансовую невозможность функционирования производства. Из уравнения для d2 можно получить условие неотрицательности d2 относительно р1.
Откуда 
, если 
Влияние увеличения d3:
| d3=0,65 | d3=0,80 | d3=1,00 | d3=1,20 | |
| p3 r1 r2 | 1,0 0,5 0,4 | 1,158 0,461 0,368 | 1,368 0,408 0,326 | 1,579 0,355 0,205 |
При увеличении d3 естественно растет цена p3 и умеренно снижаются коэффициенты добавленной стоимости (d1может стать отрицательной при фантастическом значении d3= 2,55). Это говорит о финансовой устойчивости первых двух отраслей по отношению к финансовой и ценовой политике в третьей отрасли. Однако из этого не следует, что третья отрасль может беспрепятственно повышать свои доходы. Препятствием для такой политики является внутренний спрос, падающий при увеличении цены.
Модель международной торговли (модель обмена)
Рассмотрим n стран-участниц торговли с государственным бюджетами 
. Будем считать, что весь бюджет каждой страны тратится на закупку товаров либо внутри страны либо на импорт из других стран.
Пусть aij-часть бюджета, которую страна j тратит на закупку товаров страны i. Тогда можно ввести структурную матрицу торговли с неотрицательными элементами A=(aij), сумма элементов каждого столбца которой равна единице. После подведения итогов торговли за год страны i получит выручку 
.
Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитной торговли для каждой страны, т.е. выполнения условия 
для всех i. Условием бездефицитной торговли являются равенства pi=Xi для всех i. В матричном виде это условие запишется как 
, где 
. Из этого условия следует, что вектор бюджетов X является собственным вектором структурной матрицы торговли A, а соответствующее ему собственное значение равно 1. Это собственное значение матрицы является числом Фробениуса, т.е. максимальным собственным значением. Сбалансировать торговли стран-участниц может быть достигнута только в том случае, когда бюджеты их стран находятся в отношении, в котором находятся компоненты собственного вектора матрицы торговли.
По теореме Фробениуса-Перрона уравнение всегда имеет ненулевое неотрицательное решение. Поскольку бюджет любой страны неотрицателен 
, то интерес представляют только положительные решения 
данного уравнения. В случае 
существование положительного решения следует из теоремы Фробениуса-Перрона. В то же время, если какая-то страна j не импортирует товары из страны i, то матрица A не является положительной. Существует ли в этом случае положительное решение уравнения ? Для ответа на этот вопрос вводится понятие цепочки импорта.
Говорят, что страны i и j связаны цепочкой импорта от i к j, если существует цепочка стран с началом в стране i и концом в стране j, в которой каждая последующая страна импортирует товары из предыдущей страны.
Имеет место теорема о цепочке: если в модели международной торговли структурная матрица A такова, что любые 2 страны i и j можно связать цепочкой импорта от i к j, то уравнение имеет положительное решение , единственное с точностью до умножения на число. Заметим, что если A-неотрицательная матрица порядка n*n, то для установления возможности соединения любых i и j цепочкой чисел, в которой любые 2 соседних числа k и l таковы, что 
, достаточно построить замкнутую цепочку, содержащую (возможно с повторениями) все натуральные числа от 1 до n.
Например, для матрицы:
Имеется замкнутая цепочка (1-4-3-2-1); любые 2 натуральных числа i и j 
можно соединить цепочкой от i к jб используя участки цепочки (1-4-3-2-1).
Контрольные вопросы:
1) Как определяется вектор индексов цен в МОБ?
2) Какие задачи решаются с помощью модели межотраслевого баланса?
3) Охарактеризуйте цены равновесия межрегионального обмена, принцип их определения и применения.
4) Каково соотношение состояний оптимума и равновесия в многорегиональной системе?