КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной лабораторной работы является:

· построение по результатам эксперимента законов распределения случайной величины разброса параметров непроволочных резисторов ;

· проверка гипотезы о нормальном законе распределения отклонений параметров элементов;

· экспериментальное исследование изменения параметров непроволочных резисторов при воздействии температуры.

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

Лабораторная работа выполняется в течение 4-часового занятия, включая 1 час на коллоквиум для оценки знаний студентов по теоретической части.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Радиоэлектронные средства постоянно находятся под воздействием внешних и внутренних возмущающих случайных факторов, под влиянием которых изменяются параметры элементов устройства. Изменение параметров элементов (резисторов, конденсаторов, полупроводниковых приборов, интегральных схем и др.) связано с различными физическими процессами, происходящими в материалах за счёт внешних воздействий и старения. Кроме того, параметры элементов РЭС имеют производственный разброс, который является результатом воздействия случайных факторов при их изготовлении. Спроектированная из таких элементов аппаратура реагирует на все разбросы изменением своих выходных параметров. Для прогнозирования надежности РЭС возникает необходимость установления законов распределения случайной величины разброса параметров элементов, обусловленных их производством и возмущающими внешними условиями (в частности, температурой окружающей среды).

В лабораторной работе с помощью критериев согласия (Пирсона или Колмогорова) проверяется гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины Х – разброса параметров элементов.

КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Критерии согласия позволяют оценить вероятность предположения о том, что полученная из эксперимента выборка не противоречит априорно выбранному закону распределения рассматриваемой случайной величины. Решение этой задачи основано на использовании фундаментального положения математической статистики, согласно которому эмпирическая (статистическая) функция распределения сходится по вероятности к априорной (сравниваемой теоретической) функции распределения, когда размер выборки неограниченно возрастает, если только выборка принадлежит рассматриваемому априорному распределению [1, 2]. При конечном значении выборки эмпирическая и априорная функции распределения будут, вообще говоря, отличаться друг от друга. Поэтому для выборки х₁, х₂,… х_n случайной величины Х вводится некоторая числовая мера расхождения ( критерий согласия) ( ) эмпирической функции распределения

, l =1, 2, …, n , (1)

где

= х₁, х₂,… х_n– выборка экспериментальных данных

и априорной – функции распределения.

Правило проверки гипотезы о согласии априорного и эмпирического распределения формулируется следующим образом: если

( ) (2)

то гипотеза о том, что априорное распределение, которому принадлежит выборка х₁, х₂,…,х_n равна F(х) должна быть отвергнута. Для определения порогового значения величины С устанавливается некоторая допустимая вероятность a отклонения гипотезы о том, что выборка принадлежит распределению F. Вероятность a называют уровнем значимости критерия согласия. Тогда

, (3)

т.е. С – пороговое значение критерия равно a-процентной точке функции распределения меры расхождения .

Событие , может произойти и при справедливости выдвинутой гипотезы о законе распределения. Однако если a достаточно мало, то возможностью появления таких ситуаций практически можно пренебречь. Часто задаваемыми значениями a являются a = 0.05 и a = 0.01.

Если закон распределения меры расхождения ( ) не зависит от F, то правило отклонения гипотезы о согласии и F

(4)

не зависит от априорного распределения. Такие критерии называются непараметрическими (см. п. 3.1.2 ).

Проверку гипотезы о характере распределения с помощью критерия согласия можно вести и в другой последовательности: по полученному значению необходимо определить вероятность a_n= Р{ _n }. Если полученное значение a_n < a , то отклонения значимые; если a_n ³ a, то отклонения не значимые. Значения a_n, весьма близкие к 1 (очень хорошее согласие), могут указывать на недоброкачественность выборки (например, из первоначальной выборки без основания выброшены элементы, дающие большие отклонения от среднего).

Используемые в статистике критерии согласия отличаются друг от друга различными мерами расхождения статистического и теоретического законов распределения ( ). Некоторые из них рассмотрены ниже.

3.1.1. Критерий согласия c²

При использовании критерия согласия c² (критерий Пирсона) меру расхождения между эмпирическим и априорным распределениями определяют следующим образом.

Область возможных значений, на которой определена F(x) - априорная функция распределения разбивается на конечное число непересекающихся интервалов – , i = 1, 2,…, L.

Введем обозначение: – априорная вероятность попадания выборочного значения в интервал .

Очевидно, что . Пусть элементов наблюдаемой выборки х₁, х₂,…, х_nпринадлежат интервалу .

Ясно, что .

Примем в качестве меры расхождения эмпирического и априорного распределений величину

, (5)

где - экспериментальное число попадания значений случайной величины x в интервал,

L – число интервалов, на которые разбиты все опытные значения величины x,

n – объем выборки,

p_i – вероятность попадания случайной величины x в -й интервал, вычисленная для теоретического закона распределения ( произведение определяет число попаданий в - интервал для теоретического закона ).

Как доказал Пирсон, при n ® ¥ закон распределения величины (5) стремится к - распределению с S = L - 1 степенями свободы, если только верна гипотеза о распределении .

Если проверяется сложная гипотеза о том, что выборка принадлежит распределению , где неизвестный параметр (скалярный или векторный) распределения , то из эксперимента (по полученной выборке) определяется оценка неизвестного параметра – . При этом S - число степеней свободы c²- распределения равно L – r – 1 , где r – количество оцениваемых параметров распределения. .

Правило проверки гипотезы о принадлежности выборки распределению может быть сформулировано следующим образом: при достаточно большом n ( n > 50)и для заданного уровня значимости a гипотеза отклоняется, если

, (6)

где - a - процентная точка - распределения с степенями свободы.

Критерий Колмогорова

Примем в качестве меры расхождения априорного и эмпирического распределения статистику

( ).= , (7)

где – верхняя граница модуля разности для всех полученных значений х.

Распределение этой статистики (случайной величины) при любом n не зависит от

, если только выборка х₁, х₂,… х_nпо которой построена принадлежит и эта последняя – непрерывная функция. Однако точное выражение для функции распределения при конечном значении n очень громоздко. А.Н. Колмогоров нашел достаточно простое асимптотическое выражение (при ) для функций :

,z > 0. (8) Таким образом, для больших размеров выборки (при n > 50), используя (8) , получаем

(9) Ряд (9) сходится быстро, и в качестве первого приближения можно ограничиться его первым членом.

Тогда или

(10) Правило проверки гипотезы о согласии априорного и эмпирического распределений на основании критерия Колмогорова формулируется следующим образом: если для наблюдаемой выборки и заданной величины a

, (11) то гипотеза о том, что выборка извлечена из распределения , отвергается.

При проверке сложной гипотезы о принадлежности наблюдаемой выборки распределению где неизвестный параметр ( скалярный или векторный) распределения ( см. п. 3.1.1.), можно использовать статистику

, (12) где - состоятельная оценка параметра (см. п. 7).

Далее ⇒