Раздел 5. Линейные векторные пространства
41. Даны множества 
. Найдите множества 
.
42. Проверить, будет ли линейно независимой следующая система элементов: 
на 
?
43. Проверить, будет ли линейно независимой следующая система элементов: 
на ?
44. Найдите ранг системы элементов
.
45. Определить размерность линейной оболочки элементов
.
46. Определить размерность линейной оболочки векторов 
.
47. Определить базис и размерность пространства решений системы
48. Доказать, что в пространстве 
элементы 
образуют базис. Разложить элемент 
по этому базису.
49. Пусть 
пространство многочленов не выше второй степени. Доказать, что многочлены: 
образуют базис в 
. Разложить элемент 
по этому базису.
50. Найти координаты вектора 
в базисе 
, если 
, 
.
51. Пусть пространство многочленов не выше второй степени. Найти матрицу перехода от базиса: 
к базису: 
. Разложить элемент 
по базису 
.
52. В пространстве 
базис 
получается из 
поворотом вокруг вектора 
на угол 
против хода часовой стрелки. Найти матрицу перехода от к .
53. Доказать, что в пространстве 
элементы 
образуют базис. Провести ортогонализацию по этого базиса.
54. Построить ортогональный базис линейной оболочки элементов
.
55. Пусть 
линейная оболочка, натянутая на элементы 
. Для элемента 
найти его ортогональную проекцию на подпространство 
и ортогональное дополнение.
56. Пусть 
. Доказать линейность оператора 
в пространстве и найти его матрицу в каноническом базисе.
57. Доказать, что в пространстве оператор 
, где 
, является линейным. Найти его ранг, ядро и дефект.
58. Пусть 
. Доказать линейность оператора 
в пространстве . Найти его ранг, ядро и дефект.
59. В пространстве оператор 
осуществляет поворот вектора вокруг оси 
на угол 
. Найти матрицу оператора 
в каноническом базисе.
60. В пространстве 
задан оператор сдвига: 
, если 
. Найти матрицу этого оператора в каноническом базисе.
61. Пусть 
пространство многочленов не выше третьей степени. В 
задан оператор 
. Найти матрицу оператора в базисе 
.
62. В пространстве оператор осуществляет ортогональное проектирование вектора 
на линейную оболочку векторов 
, 
. Найти матрицу оператора в каноническом базисе.
63. В пространстве заданы операторы 
, 
. Найти 
.
64. Оператор в базисе. 
имеет матрицу 
. Найти матрицу оператора в базисе 
.
65. Линейный оператор в каноническом базисе имеет матрицу 
. Найти матрицу оператора в базисе 
, 
.
66. Докажите, что оператор 
, где 
, имеет обратный 
. Найдите явный вид оператора .
67. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
.
68. Привести к каноническому виду квадратичную форму: 
. Какую замену переменных нужно сделать при этом?
69. Определить тип линии и найти ее центр:
.
70. Привести к каноническому виду квадратичную форму: 
. Какую замену переменных нужно сделать при этом?
71. Используя теорию квадратичных форм, определить тип поверхности, заданной уравнением 
.