Вывод правила треугольников

1.

Матрица –это прямоугольная таблица чисел.

Равенство матриц

А=В, если 1. А[mxn]=B[mxn]

2. aij=bij

Соответствующие элементы – элементы с одинаковыми индексами

Две матрицы равны если они совпадают и их размерности равны

Операции над матрицами

I. Сложение

С[mxn]= А[mxn]+B[mxn], если сij= aij+bij

Свойства сложения матриц

  1. Коммутативность (переместительный закон)

А+В=В+А

Доказательствo:

Пусть С[mxn][mxn]+B[mxn], D[mxn]=B[mxn]+A[mxn],

А) Размерности С и В совпадают

Б) сij= aij+bij, по определению

dij= bij+aij, но т.к. aij и bij – числа, то aij+bij= bij+aij→ cij=dij→C=В

  1. Ассоциативность (Сочетательный закон)

(A+B)+C=A+(B+C)

Доказательствo:

D’=A+B, D=D’+C, P’=B+C, P=A+P’

А) Размерность D’[mxn]=A[mxn]+B[mxm]

D[mxn]=D’[mxn]+C[mxn], аналогично для P[mxn]

Б)d’ij= aij+bij; dij=d’ij+cij= (aij+bij) +cij

p’ij= bij+aij; pij=p’ij+aij= aij+(bij +cij)

Для чисел aij, bij, cij справедливо равенство (aij+bij) +cij = aij+(bij +cij) →pij=dij→P=В

  1. Нейтральный элемент относительно сложения

Θ такая, что Θ + А =А+ Θ=А

А) Размерности совпадают

Б) Θij+aij=aijij→ Θij=0

II. Вычитание

С=A-B, если А=В+С

cij=aij-bij

Противоположные матрицы – матрицы сумма которых равна 0.

Нулевая матрица – матрица все элементы которой равны 0

О=

2.

II. Умножение матрицы на число

С=k*A, если

1) сij=kaij

2) размерности совпадают

Свойства операции

1. k(A+B)=kA+kB

2. (k+n)A=kA+nA

3. (kn)A=k(nA)=n(kA)

4. Вычитание можно представить как сложение с обратной матрицей

A-B=A+(-1)B

3.

IV. Транспонирование матриц

A= Aт=

C[mxn]=(A[mxn])т, если сij=aji

Свойства

  1. (A+B)ттт
  2. (nA)т=nAт

Доказательствo: С=Ат, если cij=aji

B=nA, C=Bт (слева)

D=Aт, P=nD (справа)

А) Размерности B=nA

C=Bт, D=Aт, P=nD

б) Посвойству умножения элементы В совпадают с элементами А умноженными с тем же числом

bij=naij (слева)

dji=aij ,pji=ndji=naij

→pji=cji→B=C

  1. т)т

4.

V. Произведение матриц

A[mxn]*B[nxr]=C[mxr]

Согласованные матрицы-матрицы число столбцов 1 матрицы равно числу строк во 2

Если А и В согласованны то В и А не всегда

С называется произведением A*B, если

1. C[mxn] =A[mxr]*B[rxn]

2. сij=

Элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и j-м столбце равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы о столбца матрицы В.

Свойства

  1. AB≠BA
  2. (AB)C=A(BC) (без док)
  3. A(B+C)=AB+AC
  4. n(AB)=A(nB)
  5. (AB)ттАт

VI. Нейтральный элемент относительно умножения – единичная матрица (Е)

AE=A=EA

Единичная матрица – квадратная матрица все элементы которой, расположенные на гланой диагонали равны 1, а остальные 0.

Eij=1, при i=j

VII. Умножение на нулевую матрицу

A[mxn] Θ[nxr]= Θ[mxr]

5.

VIII. Возведение матрицы в степень

(A[mxn])k=AAAAAA…(k раз)

6.

Квадратная матрица – матрица у которой i=j.

Определитель матрицы – число.

Порядок определителя - количество строк или столбцов.

Теорема разложения.

Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

7.

D3=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a31a22a13 – a32a23a11 – a21a12a33

Вывод правила треугольников.

8.