Схема использования статистических критериев (К) в области лесного дела при строгом доказательстве нулевой гипотезы
К05 > Кф > К01
 | |
Не отвергается Отвергается ,
 |  |
Нулевая гипотеза
где Кф - значение фактически полученного критерия;
К05, К01 - значения критериев на 5% - ном и 1% - ном уровнях значимости.
4.1. Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критерию χ- квадрат Пирсона
Критерий χ- квадрат (χ 2) впервые был предложен К. Пирсоном в 1901 году. Пользуясь этим критерием можно произвести оценку различий между эмпирическим и теоретическим распределением частот. Он рассчитывается по формуле:
,
где ni – эмпирическая частота; ni'- теоретическая частота.
Оценка значимости критерия χ 2 производится по специальной таблице (приложение 3 учебника Герасимов, Хлюстов), в которой приведены стандартные значения этого критерия (χ 2st) для трех пороговых уровней доверительной вероятности и для разных чисел степеней свободы.
Число степеней свободы равно числу классов без трех k=n-3.
Если χ 2ф< χ 2st , то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением подчиняется тому закону, по которому рассчитаны теоретические частоты.
В таблице 4.1 приводится порядок расчета критерия согласия χ 2 - Пирсона.
Таблица 4.1 Оценка различий между эмпирическим и теоретическим распределением деревьев сосны по диаметру на высоте груди
| Классы (ступени толщины),см | Частоты | ni- ni/ | (ni – ni/)2 |
| |
| Эмпирические (ni), штук | Теоретические (ni/), штук | ||||
| 13,35 | -5,35 | 28.2 | 2,4 | ||
| 32,67 | 9,33 | 87,5 | 2,6 | ||
| 62,25 | 15,75 | 248,0 | 3,8 | ||
| 91,89 | 5,11 | 26,11 | 0,8 | ||
| 106,76 | -6,76 | 95,26 | 0,9 | ||
| 97,04 | -14,04 | 197,12 | 2,3 | ||
| 69,38 | -6,38 | 40,70 | 0,9 | ||
| 38,46 | 3,54 | 12,53 | 0,3 | ||
| 16,94 | 6,06 | 36,72 | 2,7 | ||
| 5,71 | 3,29 | 10,82 | 1,0 | ||
| Cумма | χ 2ф =16,70 |
Теоретические частоты берутся неокругленными из таблицы 3.1.
χ 2ф = 16,97 χ 205/01 – теоретическое значение критерия на 5 и 1 % уровне значимости, берётся из приложения учебника, исходя из числа степеней свободыпри k = n – 3
χ 205/01 =14.10/18.50 , при k = 10-3=7 χ 2ф> χ 205
Следовательно Н0- гипотеза отвергается, различия между эмпирическим и теоретическим распределением частот существенны только на 5 % уровне значимости т.к χ 2ф больше χ 205, но меньше χ 201
Статистическое заключение
Т.к χ 2ф > χ 205, то можно сделать вывод, что опытное распределение деревьев сосны по диаметру на высоте груди не подчиняется закону предполагаемого теоретического распределения.
4.2. Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критериюλ Колмогорова – Смирнова
При помощи критерия 
- Колмогорова-Смирнова сопоставляют эмпирические и теоретические частоты рядов распределения, а также дать оценку различий двух эмпирических распределений.
Для сопоставления эмпирического и теоретического распределения частот λ-критерий рассчитывается по формуле:
,
где N-объём эмпирического ряда распределения
, тогда
Пример статистической оценки эмпирических и теоретических рядов распределения приведен в таблице 4.2.
Таблица 4.2 Статистическая оценка эмпирических и теоретических рядов
распределения по критерию λ - Колмогорова-Смирнова
| Классы (ступени толщины), см | Эмпирическая частота ni, шт | Теоретическая частота ni/, шт | 
| 
| 
| 
| d |
| 0,015 | 0,015 | ||||||
| 0,077 | 0,077 | ||||||
| 0,144 | 0,144 | ||||||
| 0,179 | 0,179 | ||||||
| 0,179 | 0,179 | ||||||
| 0,153 | 0,153 | ||||||
| 0,116 | 0,116 | ||||||
| 0,077 | 0,077 | ||||||
| 0,042 | 0,042 | ||||||
| 0,017 | 0,017 |
.
Для оценки статистической гипотезы расчетное значение - Колмогорова-Смирнова сравнивается с табличным на 1% или 5%-ном уровне значимости:
05/01=1,36/1,63 .
Так как λф<λ05, то Н0-гипотеза не отвергается, различия между эмпирическим и теоретическим распределениям частот не существенны.
Статистическое заключение
В результате сравнения эмпирического и теоретического рядов распределения можно сделать заключение, что существенных различий между ними нет, так как фактическое значение - критерия меньше на 5%-ном уровне значимости.
4.3. Статистическое сравнение двух эмпирических рядов распределения по критериюλ Колмогорова – Смирнова
Если два эмпирических распределения имеют различное количество классов и объём совокупности, то согласие между ними устанавливается по критерию , рассчитанному по формуле:
, где
, тогда
,
где n1 и n2 - частоты первого и второго сравниваемых рядов;
N1 и N2 - объёмы первого и второго рядов.
Сравнение частот взвешенных рядов по критерию Колмогорова приведено в таблице 4.3.
Таблица 4.3 Сравнение частот двух взвешенных рядов распределения по критерию λ - Колмогорова-Смирнова
| Диаметр деревьев | Эмпирическая частота | 
| 
| 
| 
| d | |
| n1,штук | n2, штук | ||||||
| 0,015 | 0,002 | 0,013 | |||||
| 0,077 | 0,019 | (0,058)max | |||||
| 0,144 | 0,094 | 0,050 | |||||
| 0,179 | 0,183 | 0,004 | |||||
| 0,179 | 0,223 | 0,044 | |||||
| 0,153 | 0,200 | 0,047 | |||||
| 0,116 | 0,145 | 0,029 | |||||
| 0,077 | 0,086 | 0,009 | |||||
| 0,042 | 0,039 | 0,003 | |||||
| 0,017 | 0,009 | 0,008 |
.
ф сравнивается с критерием на 1% и 5%-ном уровне значимости
05/01=1,36/1,63
λф< λ05, следовательно, Н0-гипотеза не отвергается, различия между сравниваемыми рядами распределения не существенны.
Статистическое заключение
В результате сравнения двух эмпирических рядов распределения деревьев сосны по диаметру можно сделать заключение, что получены не существенные различия между ними, так как фактическое значение критерия меньше критерия на 5% уровне значимости.