В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и. 1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?

1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое истолкование этих понятий.

2. Что называется функцией трех переменных, ее областью определения? Как можно геометрически истолковать область определения функции трех переменных?

3. Что называется поверхностью уровня и линией уровня? Какие поверхности являются поверхностями уровня функции u=x2+y2+z2? Постройте линии уровня функции z=x2y.

4. Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?

5. Что называется точкой разрыва функции двух переменных? Приведите пример функции двух переменных, непрерывной всюду, кроме каждой точки окружности х2+у2=1.

6. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функции нескольких переменных. В чем состоит геометрический смысл частных производных функции двух переменных?

7. Когда функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенного значения функции, близкого к известному?

8. Выведите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М0. В чем состоит геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?

9. Выведите формулы нахождения z'x и z'y сложной функции z=F(u,v) где u=j(x,y), v=y(x,y).

10. Напишите формулу вычислений полной производной сложной функции z=f(u,v), где u=u(x), v=v(x). Как записать эту формулу в случае u=x?

11. Выведите формулу дифференцирования неявной функции y=y(x), заданной уравнением F(x,y)=0.

12. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функций двух переменных.

13. Что называется производной функции u=u(x,y,z) в данной точке М по направлению вектора ? Выведите формулу ее вычисления.

14. Что называется градиентом скалярного поля u=u(x,y,z) в данной точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор? Сформулируйте известные Вам свойства градиента.

15. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных. Выведите необходимые условия и сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух переменных.

16. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух переменных.

17. Выведите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

18. Что называется условным экстремумом функции z=f(x,y)?

19. В чем состоит метод наименьших квадратов при нахождении функции на основании экспериментальных данных?

 

После изучения тем XII, XIII, XIV выполните контрольную работу №4.

Указания к выполнению контрольной работы

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в две контрольные работы, которые выполняются студентами в третьем семестре. Студент должен выполнить контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).

 

Вариант Номера задач контрольных заданий
111 121 131 141 112 122 132 142 113 123 133 143 114 124 134 144 115 125 135 145 116 126 136 146 117 127 137 147 118 128 138 148 119 129 139 149 120 130 140 150 151 161 171 181 191 152 162 172 182 192 153 163 173 183 193 154 164 174 184 194 155 165 175 185 195 156 166 176 186 196 157 167 177 187 197 158 168 178 188 198 159 169 179 189 199 160 170 180 190 200