РАЗНООБРАЗИЕ МОДЕЛЕЙ ОЧЕРЕДЕЙ
Широкое разнообразие моделей может использоваться в операционном менеджменте. Однако прежде чем углубляться в детали, мы представим четыре наиболее широко используемые модели. Они описаны в табл. 5.2, и примеры на каждую из них описаны в нескольких следующих параграфах. Более сложные модели описаны в учебниках по теории очередей или могут быть разработаны с использованием моделирования. Заметим, что все четыре модели очередей (табл. 5.2) – простая система, многоканальная, постоянное время обслуживания и ограниченный размер источника – имеют три общих характеристики. Они все предполагают:
1) прибытия распределяются по закону Пуассона;
2) FIFO-дисциплина;
3) однофазное обслуживание.
В дополнение к этому они описывают системы сервиса, которые оперируют в стабильных условиях. Это означает, что прибытие и обслуживание остаются стабильными во время анализа.
Таблица 5.2 Модели очередей
|
Модель А. Одноканальная модель очередей с пуассоновым распределением прибытий и экспоненциальным временем обслуживания.Наиболее общий случай теории очередей представляет собой одноканальная, или односервисная, очередь обслуживания. В этом случае прибытия формируют простую очередь на обслуживание к одной станции (рис. 5.3). Мы допускаем, что последующие условия относятся к этому типу систем.
1. Прибытия обслуживаются по правилу «первый пришел – первый ушел» (FIFO) и каждое прибытие ожидает обслуживания в зависимости от длины очереди.
2. Прибытия являются независимыми от предыдущих прибытий, но среднее число прибытий не изменяется во времени.
3. Прибытия описываются пуассоновым распределением вероятности и поступают из неограниченного (или очень-очень большого источника).
4. Время обслуживания изменяется от одного клиента к другому, эти отрезки времени независимы друг от друга, но их среднее время известно.
5. Время обслуживания подчинено отрицательному экспоненциальному закону распределения.
6. Время обслуживания меньше времени между прибытиями.
Когда эти условия выполнены, можно применить ряд формул для модели очередей А. Примеры 1 и 2 иллюстрируют, как модель А, известная по статьям в технических журналах как М/М/1, может быть использована.
Формулы для модели очередей А – простой, также называемой М/М/1
l – среднее число прибытий за период времени;
т – среднее число обслуженных за период времени;
Ls – среднее число единиц (клиентов) в системе = l / l – m;
Ws – среднее время единицы, проводимое в системе (время ожидания + время обслуживания) = 1 / m – l;
Lq – среднее число единиц в очереди = l2 / m (m – l);
Wq – среднее время единицы, проводимое в ожидании в очереди = l / m (m – l);
r – коэффициент использования системы = l / m;
Р0 – вероятность 0 единиц в системе (когда обслуживание бесполезно) = 1 – l / m;
Рп > k — вероятность более чем k единиц в системе = (l / m)k + 1
ПРИМЕР 1
Механик из мастерской по ремонту глушителей способен обслуживать три автомобиля в час (или около 20 минут на один автомобиль) согласно отрицательному экспоненциальному распределению. Клиенты, нуждающиеся в этом обслуживании в мастерской, появляются по два человека в час, подчиняясь распределению Пуассона. Клиенты обслуживаются по правилу «первый пришел – первый ушел» и появляются из очень большого (практически неограниченного) источника возможных потребителей ремонтных услуг.
Для этого описания мы способны получить операционные характеристики системы очередей мастерской по ремонту глушителей.
l = 2 автомобиля, поступившие за час;
m = 3 автомобиля, обслуженные за час;
|
После того как мы рассчитаем операционные характеристики системы очередей, часто важно сделать экономический анализ их воздействия. Модель очередей, описанная выше, способна предсказывать потенциальное время ожидания, длину очереди, время простоя и т. д., но не способна определить оптимальное решение или учесть факторы затрат. Как установлено ранее, решение проблемы очередей может требовать менеджмента, сопоставляющего возрастающие затраты на проведение лучшего сервиса и уменьшающиеся затраты на ожидание, связанные с проведением такого сервиса. Давайте посмотрим затраты, относящиеся к примеру 1.
ПРИМЕР 2
Владелец мастерской по ремонту глушителей установил, что затраты в терминах неудовлетворенности клиента и потери хорошего настроения составляют $10 за час времени, проведенного в ожидании в очереди. С поступающего автомобиля имеем 2/3 часа ожидания (Wq) и, аппроксимируя это на 16 автомобилей, обслуживаемых в день (два автомобиля в час на восемь часов работы в день), получаем общее число часов, которое клиенты ожидают в очереди на ремонт глушителей каждый день:
2 / 3 (16) = 32 / 3 = 102 / 34.
Следовательно, в этом случае:
Затраты клиентов на ожидание в очереди = $10 (10 2/3) = $107 / день.
Другие основные затраты владельца мастерской могут определяться заработком механика, который получает $ 7 / ч, или $ 56 / день. Тогда:
Общие рассчитанные затраты = $ 107 + $ 56 = $ 163 / день.