Тема 17. Методика обучения решению составных задач с пропорциональными величинами
План темы
I. Характеристика и классификация составных задач с пропорциональными величинами.
II. Методика работы над составными задачами на нахождение 4-го пропорционального.
III. Методика работы над составными задачами на пропорциональное деление.
IV. Методика работы над составными задачами на нахождение неизвестных по двум разностям.
Основное содержание
I. Характеристика и классификация составных задач с пропорциональными величинами.
Составные задачи с тройками пропорциональных величин таких, как: цена; количество, стоимость; масса одного предмета, количество предметов, общая масса; скорость, время, расстояние и другие подразделяются на следующие виды:
- составные задачи на нахождение 4-пропорционального;
- составные задачи на пропорциональное деление;
- составные задачи на нахождение неизвестных по двум разностям.
Общие признаки задач этих видов следующие: все задачи включают тройки пропорциональных величин; из трех величин одна величина постоянная, но ее значение неизвестно; даны 2 или более значения одной из двух величин.
Отличительные признаки задач указанных видов следующие:
- если для одной из оставшихся величин дано одно значение, а второе является искомым, то эта задача на нахождение 4-го пропорционального;
- если для одной из оставшихся величин известна сумма ее значений, а сами эти значения являются искомыми, то эта задача на пропорциональное деление;
- если для одной из оставшихся величин известная разность ее значений, а сами эти значения являются искомыми, то эта задача на нахождение неизвестных по двум разностям.
Подготовка к введению задач этих видов является ознакомление учащихся с пропорциональными величинами; раскрытие связей между ними; формирование умений находить значение одной величины по значениям двух других пропорциональных величин; решение простых задач с пропорциональными величинами. Кроме того каждый новый вид задачи предполагает повторение решения задач предыдущих видов.
II. Методика работы над составными задачами на нахождение 4-го пропорционального.
В задачах этого вида возможны варианты, когда постоянными являются или первая, или вторая величина, тогда две другие величины связаны прямо пропорциональной зависимостью; когда третья величина постоянная, тогда первые две величины связаны обратно пропорциональной зависимостью.
Введение задач на нахождение 4-го пропорционального включает работу по всем шести этапам. При усвоении содержания задач с пропорциональными величинами целесообразно строить табличную краткую запись. Например, для задачи: «На 6 одинаковых костюмов израсходовали 18 м ткани. Сколько метров ткани надо на 9 таких костюмов?» строится следующая краткая запись:
| Расход ткани на один костюм | Количество костюмов | Общий расход ткани |
| одинаковый | 18 м ? |
Граф анализа:
 |
Граф синтеза:
 |
В данном примере поиск привел к решению задачи способом нахождения постоянной величины или способом прямого приведения к единице.
Задачи на нахождение 4-го пропорционального решаются и втором способом – методом отношений.
Например, для задачи: «В 6 ящиках 30 кг ягод. Сколько ягод в 2 таких же ящиках?» - предполагается решить ее двумя способами.
Табличная краткая запись задачи:
| Масса одного ящика | Количество ящиков | Общая масса |
| одинаковая | 30 кг ? |
Анализ краткой записи помогает ученикам увидеть, что количество ящиков уменьшилось в 3 раза, значит и общая масса будет меньше в 3 раза. Это способ решения задачи методом отношений.
Способ отношений используется и дл обратно пропорциональной зависимости между величинами. Задача «Скорость автомобиля 48 км/ч. Одно и то же расстояние автомобиль проехал за 2 ч, а велосипедист за 8 ч. Найти скорость велосипедиста»
| Скорость | Время | Расстояние | |
| Автомобиль Велосипедист | 48 км/ч ? | 2 ч. 8 ч. | одинаковое |
Решение способом нахождения постоянной величины:
1) 48 ∙ 2 = 96 (км) – расстояние;
2) 96 : 8 = 12 (км/ч) – скорость велосипедиста.
Решение способом отношений:
1) 8 : 2 = 4 (р) – во сколько раз время движения велосипедиста больше времени движения автомобиля
2) 48 : 4 = 12 (км/ч) – скорость велосипедиста.
Для формирования умений решать задачи на нахождение 4-го пропорционального рекомендуется решать задачи с различными группами пропорциональных величин, решать задачи с одинаковыми величинам, но различной постоянной величиной, сравнить задачи и их решения, а также выполнять виды заданий, указанных в теме №16.
III. Методика работы над составными задачами на пропорциональное деление.
При введении задач нового вида можно использовать преобразование задачи на нахождение 4-го пропорционального в задачи на пропорциональное деление.
Задача: «За 3 ч станок-автомат изготавливает 300 шестеренок для часов. Сколько шестеренок может изготовить этот станок за 5 ч?».
| За один час | Количество часов | Изготовлено шестеренок |
| Одинаково | ? |
Устное решение этой задачи приводит к ответу: 500 шестеренок. Затем учитель предлагает составить задачи по новой краткой записи:
| За один час | Количество часов | Всего изготовлено шестеренок |
| Одинаково |  ?
?
|
Получается задача на пропорциональное движение: «Станок-автомат, работая 3 часа в первый день и 5 часов - во второй день, за 2 дня изготовил 800 шестеренок для часов. Сколько шестеренок изготавливалось каждый день?».
После повторения задачи и объяснения слова «каждый» вопрос задачи подразделяется на 2 подвопроса. Выясняется, какое из искомых чисел больше и почему, затем проводится работа по всем шести этапам.
Проверку правильности решения задачи можно выполнить установлением соответствия между полученными результатами и данными задачи.
IV. Методика работы над составными задачами на нахождение неизвестных по двум разностям.
Кроме подготовительной работы, указанной выше, для задач нового вида необходима и спея работа, которая включает в себя:
- ответы на задачи-вопросы типа: «В одном кусе 6 метров ткани, а во втором – 4 м такой же ткани. Какой кусок ткани дороже? Почему? Сколько метров ткани первого куска стоят столько, сколько и второй кусок?»;
- решение простых задач повешенной трудности. Например, «У Тани на 2 коробки карандашей больше, чем у Миши. Сколько карандашей в одной коробке, если известно, что у Тани на 12 карандашей больше, чем у мИши? Сколько карандашей в одной коробке. если известно, что у Миши на 12 карандашей меньше, чем у Тани?».
Ввести задачи нового вида можно путем преобразования задачи на нахождение 4-го пропорционального к задаче на нахождение неизвестных по двум разностям.
Работа над задачей проводится по всем 6 этапам. Рекомендуется использовать табличную краткую запись и графическую иллюстрацию. Задача: «В одну столовую привезли 15 одинаковых коробок с фруктами, во вторую – 10 таких же коробок. Сколько килограммов фруктов привезли в каждую столовую, если известно, что в первую столовую привезли на 60 кг фруктов больше, чем во вторую?».
После повторения задачи, объяснение слова «каждую» и разбиение вопроса на 2 подвопроса составляется краткая табличная запись.
| Масса одной коробки | Количество коробок | Общая масса |
| одинаковая | ?, на 60 кг больше ? |
Графическая иллюстрация задачи:
 | |||
 |
Поиск решения задачи может быть аналитико-синтетическим:
- можем сразу ответить на вопрос задачи? (Нет);
- почему? (так как неизвестная масса одной коробки);
- почему масса фруктов в первой столовой больше на 60 кг, чем во второй столовой? (потому что в первую столовую привезли больше коробок);
- можем ли мы узнать сколько коробок с фруктами приходится на 60 кг? (да, для этого 15 – 10);
- что узнаем сначала? (на сколько больше коробок с фруктами привезли в первую столовую);
- что узнаем потом? (массу одной коробки);
- что узнаем далее? (массу фруктов. привезенных в первую столовую);
- что узнаем затем? (массу фруктов, привезенных во вторую столовую);
- ответим на вопрос задачи? (Да).
Формированию умения решать задачи служит выполнение заданий, указанных в предыдущей теме.
Таким образом рассмотрена методика работы над задачами с пропорциональными величинами.