При наличии случайной составляющей в элементах матрицы, заданной нормальным распределением

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ИГРЫ В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ

 

ИСПОЛНИТЕЛИ

студенты гр. ФН2-81 Борисов Е.А., Голубева Ю.Ю.

 

 

ПРОВЕРИЛ

доцент кафедры ФН-11 Абрагин А.В.

 

 

Москва 2016

1. Найти вероятность решения игры в чистых стратегиях при росте размерности платежной матрицы (исследовать устойчивость решения в зависимости от размерности матрицы/наличие седловой точки).

Общее количество игр в каждом испытании равно 100.

1) если матрица квадратная;

1.1. если коэффициенты матрицы целочисленные;

1.2. если коэффициенты матрицы дробные.

 

2) если матрица прямоугольная;

2.1. если коэффициенты матрицы дробные;

2.2 если коэффициенты матрицы целочисленные.

 

2. Найти вероятность решения игры в чистых стратегиях при росте размерности платежной матрицы (исследовать устойчивость решения в зависимости от размерности матрицы/наличие седловой точки) при наличии случайной составляющей в элементах матрицы, заданной нормальным распределением.

1) если матрица квадратная;

1.1. если коэффициенты матрицы целочисленные;

1.2. если коэффициенты матрицы дробные.

2) если матрица прямоугольная;

2.1. если коэффициенты матрицы дробные;

2.2 если коэффициенты матрицы целочисленные.

Графики вероятности решения игры в чистых стратегиях для различных случаев:

В общем случае.

При наличии случайной составляющей в элементах матрицы, заданной нормальным распределением.

Выводы:

· С увеличением размерности матрицы вероятность решения игры в чистых стратегиях уменьшается.

· Наличие случайной составляющей в элементах матрицы оказывает существенное влияния на разрешимость игры в чистых стратегиях (это особенно хорошо видно для матриц больших размерностей), но в целом сохраняется тенденция уменьшения вероятности решения игры в чистых стратегиях при увеличении размерности матрицы.

· Для квадратной матрицы с целочисленными коэффициентами вероятность решения игры в чистых стратегиях совпадает c аналогичными матрицами с дробными коэффициентами. Для прямоугольных матриц вероятность решения игры в чистых стратегиях при условии, что количество строк меньше количества столбцов (i<j), выше, чем для матрицы, в которых количество столбцов меньше количества строк (i>j). Для матриц со случайной составляющей прослеживаются те же закономерности.

3. При каких изменениях в коэффициентах матрицы седловая точка сохраняется?

Рассмотрим случай, касающийся конкретной седловой точки, не учитывая существования других седловых точек. Для выполнения принципа минимакса (существования седловой точки) необходимо, чтобы минимальный элемент в строке был равен максимальному элементу в столбце. Поэтому для сохранения седловой точки можно изменять все элементы в соответствующих строках и столбцах, на пересечении которых располагается седловая точка (исключая саму седловую точку), следующим образом:

1.) для строк - седловая точка должна оставаться минимальным элементом в строке, т.е. все остальные элементы в строке можно увеличивать бесконечно, а уменьшать только до значения седловой точки;

2.) для столбцов - седловая точка должна оставаться максимальным элементом в столбце, т.е. все остальные элементы можно уменьшать бесконечно, а увеличивать только до значения седловой точки;

3.) другие элементы матрицы, не затрагивающие строку и столбец, на пересечении которых находится седловая точка, могут изменяться произвольным образом.