Возрастание и убывание функций

ПП 16.

I. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ и построение графиков

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Графики элементарных функций

1. Линейная функция: .

 

 

 

 

2. Квадратичная функция:
.

 

 

3. Степенные функции

 

 

3.1. .
3.2. , .

 

3.3. Иррациональные .

 

Трансцендентные функции

 

4. Показательная .

5. Логарифмическая .

 

6. Тригонометрические функции

 

 

6.1. .
6.2. .
6.3. .
6.4. .

 

7. Обратные тригонометрические функции

7.1. . .

7.2. . .

7.3. , .

7.4. . .

 

, , .

 

8. Гиперболические функции

8.1. Гиперболический синус

.

8.2. Гиперболический косинус

.

8.3. Гиперболический тангенс

.

8.4. Гиперболический котангенс

. , , , .


Асимптоты

1) - вертикальная асимптота , если .

2) - правая (левая) горизонтальная асимптота , если .

3) , , - наклонная асимптота при .

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Интервалы монотонности

 

Функция , дифференцируемая на отрезке , возрастает (убывает) тогда и только тогда, когда ( ), .

 

Правило отыскания экстремумов функции

Чтобы найти точки максимума и минимума функции , надо:

1). Найти производную , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение .

2). Найти точки, в которых производная не существует.

3). Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.

 

Экстремум
нет
max
min
нет

 

С помощью второй производной:

Экстремум
max
min
 

 


Точки перегиба

 

Функция , дифференцируемая на отрезке , выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда ( ), .

 

Перегиб
вып. вниз вып. вниз нет
вып. вниз вып. вверх есть
вып. вверх вып. вниз есть
вып. вверх вып. вверх нет

Общая схема исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции; найти область значений функции; найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.

2. Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.

4. Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.

5. Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

6. Построить график.

 

Типы задач

Возрастание и убывание функций

Функция , дифференцируемая на интервале , возрастает (убывает) на тогда и только тогда, когда ( ) для всех .

Геометрически это означает, что угол наклона касательной к графику возрастающей (убывающей) дифференцируемой функции острый (тупой), а угловые коэффициенты касательных соответственно положительны или отрицательны.


 

№ п/п Примеры ПП 16 1. Возрастание и убывание функций  
№1. По данному графику функции постройте вид графиков . Решение: 1) На интервале убывает, , . 2) На интервале возрастает, . 3) На интервале убывает, . 4) . 5) На интервале возрастает, , на интервале убывает, . Эти соображения позволяют построить примерный график . 6) Та же последовательность действий, примененная к графику функции , дает примерный график второй производной .    
№2. По данному графику производной постройте вид графика функции . Решение: 1) На интервале , возрастает, , т.е., скорость возрастания также неограниченно возрастает, а следовательно, и сама функция неограниченно возрастает, т.о., – вертикальная асимптота графика. 2) На интервале , возрастает, причем , (чем ближе точка к – справа от нее, тем больше скорость возрастания), что указывает, что , т.е., – точка разрыва второго рода. 3) В точке производная меняет знак с «+» на «–», – точка локального максимума. 4) На интервале , убывает. 5) В точке производная меняет знак с «–» на «+», – точка локального минимума. 6) При функция возрастает. Эти соображения позволяют построить примерный график :
№3. Функция возрастает в своей области определения, так как при любых .
№4. Функция возрастает на интервале , так как для . Полезный вывод: поскольку , то , значит для .

Экстремумы функции

Необходимым условием существования экстремумафункции является равенство нулю ее производной в точке экстремума: (если в этой точке производная существует).

Геометрически это означает, что касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси .

Достаточным условием существования экстремума функции в точке является изменение знака ее первой производной в этой точке:

в точке максимума функции знак производной изменяется с положительного на отрицательный, что соответствует возрастанию функции до точки максимума при и убыванию после нее при .

Существуют точки, в которых необходимое условие экстремума не выполняется, но тем не менее функция в них может иметь экстремум.

Критическими называются точки, в которых производная функции равняется нулю, не существует или обращается в бесконечность. Критические точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности.

 

№ п/п Примеры ПП 16 2. Экстремумы функции  
№5. Для функции на отрезке значение является минимальным, т.к. производная равна нулю в точке .
№6. Функция не дифференцируема в точке , так как касательные к графику функции слева и справа от точки различны, однако функция имеет минимум в этой точке. Функция является строго убывающей при и строго возрастающей при . В точке график имеет острый минимум (так называемую угловую точку).
№7 Функция и ее производная имеют бесконечный разрыв при . Функция возрастает при и убывает при , но экстремума в точке не имеет.
№8. Функция не дифференцируема в точке , так как при , график функции имеет в точке 0 вертикальную касательную, функция является убывающей при , возрастающей при , в точке функция имеет минимум (такая точка графика называется точкой возврата).
№9. Для функции в точке выполняется необходимое условие экстремума . Однако точка не является точкой экстремума этой функции, в ней не выполняется достаточное условие экстремума, т.к. для любых и функция возрастает на всей числовой оси.
№10 Для функции в точке производная не существует, однако экстремум отсутствует.

 


Асимптоты графика функции

№ п/п Примеры ПП 16 3. Асимптоты графика функции
№11. У графика существует левая горизонтальная асимптота ( ) и не существует правой горизонтальной асимптоты.
№12 У графика существует правая горизонтальная асимптота ( ) и не существует левой горизонтальной асимптоты.
№13 У графика существуют обе горизонтальные асимптоты: - левая горизонтальная асимптота ( ), - правая горизонтальная асимптота ( ).
№14 У графика обе горизонтальных асимптоты существуют и совпадают ( ). Кроме того, график функции имеет вертикальную асимптоту , поскольку , .
№15 Кривая имеет вертикальные асимптоты и .
№16 Построим график функции без использования производной. Преобразуем выражение: , . График этой функции получается смещением графика на две единицы влево, на одну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой . Прямые и являются вертикальной и горизонтальной асимптотами. Для гиперболы с центром симметрии в точке уравнения вертикальной и горизонтальной асимптот имеют вид: и .
№17 Исследуйте поведение функции в точке . , , , . Прямая является вертикальной асимптотой.
№18 Найдите асимптоты графика функции . , , . График имеет две несовпадающие наклонные асимптоты: левую и правую .