Нет, т.к. это является необходимым условием. при (0,0) =0 это >=0 Отв:да (я точно не уверена в том что >=0)

35. f(x,y)=x6y4 (0,0)

x=0 y=0

при (0,0) =0 это >=0 Отв:да (я точно не уверена в том что >=0)

36. f(x,y)=xy4 (0,0)

x=0 y=0

при (0,0) = 0 Отв: да (точно не уверена)

37. f(x.y)=x2-y2 (o,o)

x=0 y=0

=-4 <0 точек нет Ответ: нет

38. а) F’x=2x F’y=2y

В точке (1,1) первые производные данной функции не обращаются в ноль, следовательно точка (1,1) не является точкой локального экстремума (не выполняется необходимое условие).

б) Дано уравнение связи x+y=2. Y=2-x

f= x2+(2-x)2=2x2-4x+4

f=4x-4=0 x=1 при х=1 у=2-1=1

39. Рассмотрим 3 случая. 1) х-1>0 2)x-1<0 3) x=0

Аналогично как в предыдущих.

Ответ: -3

40. Ответ: наим 32=9

Наиб 72=49

Ответ: наим 32=9

Наиб 72=49

Наиб 72=49

 


Теорема о равенстве смешанных производных

Если производные и сущест­вуют в некоторой окрестности точки М(х0, у0) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство

(М)=(М)

 

Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пусть функция f(х) имеет (п +1)производных в E-окрестности точки х0 . Тогда для любой точки х из этой окре­стности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула

f(х) = T(х) +

где T(x)- п-й многочлен Тейлора функции f(х) в точке х0. - остаточный член в форме Лагранжа

 

Локальные экстремумы функций нескольких переменных.

Точка М называется точкой локального минимума функции у=f(x), если существует такая окрестность М, что в любой точке Xэтой окрестности выполняется неравенство f(М) <= f(X).

Аналогично точка М называется точкой локального максимума функции y = f (X), если существует такая окрестность М, что в любой точке X этой окрестности выполняется неравенство f(М) >= f(X).

Точки локальных минимумов и максимумов функции у=f(X) называются точками локальных экстремумов данной функции

 

Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Теорема. Пусть функция f(x1, ..., xm) определена в некоторой окрестности т. , дифференцируема в точке М0, и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М0 равны нулю:

 

Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Пусть в некоторой окрестности стационарной точки определены частные производные второго порядка функции f(x1, ..., xm), которые являются непрерывными в т. М0. Если в этой точке второй дифференциал d2 f(M0) является знакоопределенной квадратичной формой от dx1, ..., dxm, то в т. М0 функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d2 f(M0) отрицательно определена, и локальный минимум, если d2 f(M0) положительно определена), если же d2 f(M0) знакопеременна, то в т. М0 экстремума нет.

 

Условный экстремум.

Пусть у= f(X) функция с областью определения D(f) и пусть S - подмножество в D(f) (т.е. S является частью в D(f). Точка Aпринадлежит S называется точкой условного минимума функции f, если сущест­вует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей од­новременно и в этой окрестности точки А и множестве S, верно нера­венство f(A)<= f(B).

Аналогично точка А принадлежит S называется точкой условного максимума функции f, если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей в этой окрестности и в S, верно неравенство f(A)>=f(B).

Общее название для условных минимумов и максимумов — условные экстремумы.

Метод Лагранжа.

Пусть функции f и g1 …gs определены и имеют непрерывные ча­стные производные в окрестности точки х* причем, векторы

линейно независимы. Тогда если х* - точка условного экстремума функции f при условиях

то найдутся числа ʎ1 …ʎs для ко­торых x* - стационарная точка функции

Функция L называется функцией Лагранжа, а числа множителями Лагранжа.

 



>3
  • Далее ⇒