Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений
Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).
Док-во. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение yчо(x) этого уравнения содержится в формуле y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Возьмём любую точку 
, вычислим в этой точке числа 
и найдём постоянные C1, C2, …, Cn как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений 
Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен 
. Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C1, C2, …, Cn и сравним её с функцией yчо(x). Функции y(x) и yчо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x0, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: yчо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + … + Cn yn(x). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.
10. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.
Пусть дана система АХ = В n линейных уравнений с n неизвестными. Если êAêне равно 0, то система имеет единственное решение:x1=êA1ê/ êA ê; x2=êA2ê/ êA , где Аi, Определители получаются из определителя|А| заменой соответствующего столбца столбцом свобод членов.
Определители второго порядка (ОВП) имеют вид
=.|a b|
|c d|
Связь ОВП со СЛАУ размерностью 2*2: Представим себе СЛАУ размерностью 2*2 следующего вида
а11*х1+а12*х2=a10
а21*х1+а22*х2=a20
Домножим обе части первого уравнения на a22, а обе части второго уравнения на -a12
а11*а22*х1 + а12*а22*х2 = a10*а22
-а12*а12*х1 + -а12*а22*х2 = -a20*а12
Выражаем неизвестную переменную x1 и получаем:
х1 = 
В числителе и в знаменателе получившейся дроби мы видим вычисленные ОВП.
Проделаем аналогичную процедуру относительно x2.
Значит, для нахождения решения СЛАУ размерностью 2*2 нужно лишь вычислить ОВП составленные из определенных комбинаций коэффициентов при неизвестных и свободных членов и поделить их друг на друга, таким образом, что в числителе дроби ОВП содержащий свободные члены, а в знаменателе соответственно не содержащий.
Пусть ¹0. Тогда СЛАУ имеет единственное решение.
Пусть =0, а 1=0 и 2=0. Тогда СЛАУ имеет бесчисленное множество решений.
Пусть =0, а хотя бы один из 1, 2 неравен 0, тогда СЛАУ не имеет решений.