Метод наименьших квадратов. В основе метода наименьших квадратов лежит критерий Лежандра и Гаусса
В основе метода наименьших квадратов лежит критерий Лежандра и Гаусса.
Для упрощения изложения рассмотрим случай линейной функции одного аргумента. Пусть из опыта получены точки (рис.3):
(2.1)
Требуется найти уравнение прямой
, (2.2)
наилучшим образом согласующейся с опытными точками. Пусть такая прямая найдена. Обозначим через 
расстояние от опытной точки до этой прямой (измеренное параллельно оси 
). Из уравнения (2.2) следует, что
, (2.3)
Чем меньше числа по абсолютной величине, тем лучше подобрана прямая (2.2). В качестве характеристики точности подбора прямой (2.2) можно принять сумму квадратов отклонений
, (2.4)
Покажем, как можно подобрать прямую (2.2) так, чтобы сумма квадратов 
была минимальной. Из уравнений (2.3) и (2.4) получаем
, (2.5)
Условиями минимума (экстремума) будет равенство нулю её частных производных:
,
(2.6)
.
Уравнения (2.6) можно записать в таком виде
, (2.7)
. (2.8)
Прямая (2.2), определяемая уравнениями (2.7) и (2.8), называется прямой, полученной по методу наименьших квадратов (этим названием подчеркивается то, что сумма квадратов имеет минимум). Уравнения (2.7) и (2.8), из которых определяется прямая (2.2), называются нормальными уравнениями.
Характеристики прИБОРОВ
Для количественного измерения электрических и магнитных величин применяются различные электроизмерительные приборы: гальванометры, амперметры, вольтметры и др., а также комбинации этих приборов в различных измерительных схемах.
Измеряют электрические величины по различным их проявлениям и воздействиям: 1) механическим (например, разность потенциалов между двумя пластинами может быть измерена по силе их взаимного притяжения); 2) химическим (например, количество прошедшего заряда может быть измерено по массе выделившегося на электродах вещества); 3)тепловым (по нагреву проводника и т.д.).
Как правило, всякое измерение сводят к измерению перемещения стрелки или луча света («зайчика») по шкале.
Измерительные приборы подразделяются на приборы непосредственной оценки и приборы сравнения. В приборах первого типа измеряемая величина отсчитывается по показаниям предварительно проградуированных приборов, в приборах второго типа в процессе измерения производится прямое сравнение с эталонной мерой (мосты, компенсаторы). Сам измеритель обычно заключен в корпус, предохраняющий его от внешних воздействий и механических повреждений. Вспомогательные детали могут находиться вне корпуса. На корпусе приборов, как правило, устанавливается корректор – приспособление, предназначенное для установки прибора в нулевое положение, и арретир – устройство, предназначенное для предохранения подвижной части прибора от повреждений при переноске, транспортировке и хранении.
Одно из основных технических требований, предъявляемых к электроизмерительным приборам - чтобы прибор потреблял малую мощность и не вносил заметных изменений в электрическую цепь.
Приборы разделяются:
а) по характеру замера – на приборы с непосредственным отсчетом и самозаписывающие;
б) по условиям работы – на стационарные, переносные, транспортные;
в) по точности – на классы, цифра класса, наносимая на шкалу прибора, дает процент погрешности от номинального предела измерения;
г) по принципу работы – магнитоэлектрические, электромагнитные, электродинамические, тепловые и т.д.
Кроме того, в соответствии с ГОСТом электроизмерительные приборы классифицируются также:
а) по положению нулевой отметки на шкале: с односторонней шкалой, с двусторонней симметричной шкалой и двусторонней несимметричной и безнулевой шкалой;
б) по количеству диапазонов измерений: однопредельные и многопредельные (несколькими диапазонами измерений);
в) по конструкции отсчетного устройства: со стрелочным, световым или вибрационным указателем, с подвижной шкалой, с пишущим устройством, с цифровой индикацией;
г) по характеру шкалы: с равномерной шкалой, с неравномерной шкалой, (степенной, логарифмической)
Таблица 6
Обозначение единиц измеряемых величин на приборах.
| Наименование | Обозначение | Наименование | Обозначение |
| Ампер | A | Ом | Ω |
| Килоампер | kA | Килоом | kΩ |
| Миллиампер | mA | Мегаом | MΩ |
| Микроампер | μА | Миллиом | mΩ |
| Вольт | V | Микроом | μΩ |
| Киловольт | kV | Микрофарада | mF |
| Милливольт | mV | Пикофарада | pF |
| Ватт | W | Генри | H |
| Киловатт | kW | Миллигенри | mH |
| Мегаватт | MW | Микрогенри | μH |
| Мегавар | Mvar | Коэффициент реактивной мощности | Sinφ |
| Коэффициент мощности | Cosφ |
Характеристики указываются на панелях электроизмерительных приборов.
Обычно, единицу измерения указывают посередине панели прибора, сверху или снизу его шкалы (для стрелочных), примеры приведены в таблице 6.
Символ указывающий принцип действия прибора наносится под шкалой справа (таблица 7).
Таблица 7.
Условные обозначения систем приборов
| Тип прибора | Обозначение систем электроизмерительных приборов | |
| С механическим противодействующим моментом | Без Механического противодействующего момента | |
| Магнитоэлектрический с подвижной рамкой | 
| 
|
| Магнитоэлектрический с подвижным магнитом | 
| 
|
| Электромагнитный | 
| 
|
| Электродинамический | 
| 
|
| Ферродинамический | 
| 
|
| Индукционный | 
| 
|
| Электростатический | 
| 
|
| Вибрационный | 
|
|
| Тепловой | 
|
|
| Биметаллический | 
|
|
| Термоэлектрический | 
|
|
При подборке приборов для измерений следует руководствоваться наличием защиты от внешних воздействий и видом преобразователя (таблица 8)
Таблица 8.
Обозначения, характеризующие вид преобразователя и наличие защиты измерительной цепи
| Наименование | Обозначение |
| Выпрямитель полупроводниковый | 
|
| Выпрямитель электромеханический | 
|
| Электронный преобразователь | 
|
| Термоэлектрический преобразователь | 
|
| Защита от внешних магнитных полей (I категория)* | 
|
| Защита от внешних электрических полей (I категория) * | 
|
*Прим.: I категория – менее чувствительные, II категория – более чувствительные к внешним влияниям.
При измерении прибор должен находиться в рабочем положении (таблица 9). Причем, при непосредственном выполнении измерения угол зрения должен составлять 90 градусов к шкале приборе (стрелочные приборы).
Таблица 9.
Обозначения, характеризующие рабочее положение приборов и прочность изоляции по отношению к корпусу
| Наименование | Обозначение |
| Вертикальное положение | 
|
| Горизонтальное положение | 
|
| Наклонное положение | 
|
| Измерительная цепь изолирована от корпуса и испытана напряжением (например, 2 кВ) | 
|
| Прибор испытанию прочности изоляции не подлежит | 
|
| Осторожно! Прочность изоляции измерительной цепи не соответствует нормам! | 
|
| Внимание! Смотри дополнительные указания в паспорте прибора. | 
|
| На | Обозначение |
| Постоянный | ― |
| Переменный | 
|
| Переменный и постоянный | 
|
| Трехфазный | 
|
| Трехфазный с неравномерной нагрузкой фаз | 
|
| Прибор трехфазного тока с двухэлементным измерительным механизмом. | 
|
В большинстве случаев для характеристики электроизмерительных приборов пользуются приведенной погрешностью 
. Приведенной погрешностью называется отношение максимальной абсолютной погрешности к предельному максимальному значению измеряемой величины: 
. Если прибор имеет двухстороннюю шкалу, то 
определяется как 
, где 
и 
– значения максимального предела измерений слева и справа от нуля. Для приборов с безнулевой шкалой 
,где – конечное значение рабочей части шкалы.
Необходимость введения приведенной ошибки объясняется тем, что даже при постоянстве абсолютной погрешности по всей шкале прибора относительная погрешность не остается постоянной. Наибольшая относительная погрешность будет в первой части шкалы прибора. В связи с этим измерения рекомендуется проводить в третьей части шкалы прибора (чтобы предполагаемое значение измеряемой величины составляло 70–80% от максимального значения), то есть там, где относительная ошибка наименьшая. Именно поэтому применяют приборы, имеющие несколько пределов измерения; при работе с такими приборами их включают в цепь на тот предел измерения, который достаточно близок к предполагаемому значению измеряемой величины.
Приведенная погрешность, выраженная в процентах, называется классом точностиприбора: 
.
Класс точности указывается на шкале прибора в одном из трех вариантов, например, для класса точности 1,5 возможны обозначения: 1,5; 
и 
. Первые два обозначения следует читать так: приведенная погрешность в диапазоне измерения не превышает 1,5%. Третий же вариант читается: приведенная погрешность не превышает 1,5% от длины шкалы прибора. В настоящее время электроизмерительным приборам в соответствии со стандартом присвоено девять классов точности: 0,01; 0,02; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Приборы классов точности от 0,01 до 0,5 включительно называются прецизионными и используются для точных лабораторных исследований. Приборы классов точности от 1,0 до 4,0 включительно – технические, выше 4,0 – внеклассовые.
Литература
1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М., 2003.
2. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М., 1970.
3. Каленков С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика. М., 1990.
4. Селиванов М.Н., Фридман А.Э., Кудряшов Ж.Ф. Качество измерений: Метрологическая справочная книга. Л.,1987.
5. Воронцов Б.С. Руководство к выполнению лабораторных работ по физике. КМИ. Курган, 1984.