Инструкция по составлению смесей
Кубанский государственный университет
Экономический факультет
Кафедра математических методов и моделей
Д.Г. Бондарев, В.Г. Дорошенко, О.Г. Ерохин, В.В. Черный
Сборник заданий
По курсу
«Автоматизированные информационные технологии в управлени экономикой»
Краснодар 2000
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ.. 2
Задача 1.1. 4
Задача 1.2. 4
Задача 1.3. 4
Задача 1.5. 5
Задача 1.4. 6
Задача 2.1. 7
Задача 2.2. 7
Задача 2.3. 7
Задача 2.4. 8
Задача 2.5. 8
Задача 3.1. 9
Задача 3.2. 9
Задача 3.3. 9
Задача 3.4. 10
Задача 3.5. 10
Задача 4.1. 10
Задача 4.2. 11
Задача 4.3. 11
Задача 5.1. 12
Задача 5.2. 12
Задача 5.3. 13
Задача 5.4. 13
Задача 5.5. 14
Задача 5.6. 14
Задача 6.1. 15
Задача 6.2. 15
Задача 6.3. 16
Задача 7.1. 16
Задача 7.2. 16
Задача 7.3. 17
Задача 7.4. 18
Задача 7.5. 18
Задача 8.1. 19
Задача 8.2. 19
Задача 9.1. 20
Задача 9.2. 20
Задача 9.3. 21
Задача 9.4. 21
Задача 9.5. 21
Задача 10.1. 22
Задача 10.2. 22
Задача 10.3. 23
Задача 10.4. 23
Задача 10.6. 23
Задача 10.7. 24
Задача 10.8. 24
Задача 10.9. 24
Задача 10.10. 25
Задача 10.11. 25
Задача 10.12. 25
Задача 10.13. 26
Задача 10.14. 26
Задача 10.15. 26
Задача 10.16. 26
Задача 10.17. 27
Задача 10.18. 27
Задача 10.19. 27
Задача 10.20. 27
Задача 10.21. 28
Задача 10.22. 28
Задача 10.23. 28
Задача 10.24. 29
Задача 10.25. 29
Задача 11.1. 29
Задача 11.2. 29
Задача 11.3. 30
Задача 11.4. 30
Задача 11.5. 30
Задача 11.6. 30
Задача 11.7. 30
Задача 11.8. 31
Задача 11.9. 31
Задача 12.1. 31
Задача 12.2. 32
Задача 12.3. 32
Задача 12.4. 33
Задача 12.5. 34
Задача 12.6. 35
Задача 13.2. 36
Задача 13.3. 36
Задача 13.4. 37
Задача 13.5. 38
Задача 17.1. 38
Задача 17.2. 39
Задача 17.3. 39
Задача 17.4. 39
Задача 17.5. 40
Задача 17.6. 40
Задача 17.7. 41
Задача 17.8. 41
Задача 18.1. 42
Задача 18.2. 42
Задача 18.3. 43
Задача 18.4. 43
Задача 18.5. 44
Задача 19.1. 44
Задача 19.2. 45
Задача 19.3. 46
Задача 19.4. 46
Задача 19.5. 47
Задача 1.1
Телевизионная компания производит два вида телевизоров - "Астра" и "Космо". Имеются две производственные линии, каждая для своего типа телевизоров. Мощность линии по производству "Астра" составляет 70 телевизоров в день, а "Космо" - 50 единиц в день. Цех А производит телевизионные трубки. В этом цехе на производство одной трубки к телевизору "Астра" требуется потратить 1,8 чел-ч, а на производство трубки к "Космо" - 1,2 чел-ч.
В настоящее время в цехе А на производство трубок к обеим маркам телевизоров может быть затрачено не более 120 чел-ч в день. В цехе Б производятся шасси. В этом цехе на производство одной единицы шасси как к телевизору "Астра", так и к "Космо" требуется затратить 1 чел-ч. В цехе Б на производство шасси к обеим маркам телевизоров может быть затрачено не более 90 чел-ч. Продажа каждого телевизора марки "Астра" обеспечивает получение прибыли в размере 150 тыс. р., а марки "Космо" - 200 тыс.р.
1. Если компания может продать столько телевизоров марки "Астра", сколько она произведет, то каков должен быть ежедневный план производства телевизоров этой марки?
2. На сколько тыс.р. в день увеличится прибыль, если ресурс времени в цехе А возрастет на 2 чел-ч?
Задача 1.2
Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров. Фирма получает прибыль в размере 12 тыс.р. от производства и продажи каждой единицы товара 1 и в размере 4 тыс.р. от производства и продажи каждой единицы товара 2. Фирма состоит из трех подразделений. Затраты труда (чел-дни) на производство этих товаров в каждом из подразделений указаны в таблице.
| Подразделение | Трудозатраты, чел-дней на 1 шт. | |
| Товар 1 | Товар 2 | |
Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма будет располагать следующими возможностями обеспечения производства трудозатратами: 800 чел-дней в подразделении 1, 600 - в подразделении 2 и 2000 - в подразделении 3.
1. Какую максимальную прибыль может получить фирма (тыс.р.)?
2. На сколько увеличится прибыль, если объем использования трудовых ресурсов в каждом из подразделений возрастет на 0,1%?
Задача 1.3
Мастер Гамбс - владелец небольшого мебельного цеха. Он производит три типа столов: А, Б, и В. Каждая модель стола требует определенных затрат времени на выполнение трех операций: производства заготовок, сбора заготовок и покраски. Мастер имеет возможность продать все столы, которые он производит. Более того, модель В может быть продана и без покраски. Мастер Гамбс нанимает несколько рабочих, которые работают у него по совместительству, так что количество чел-ч, отводимое на каждый вид работ, изменяется от месяца к месяцу. Используйте данные таблицы и построите модель линейного программирования, которая помогла бы мастеру найти такую программу выпуска продукции, которая максимизировала бы его прибыль в следующем месяце. Предполагается, что по каждому виду работ возможны трудозатраты до 100 чел-ч.
| Модель | Заготовка, чел-дней | Сборка, чел-дней | Покраска, чел-дней | Прибыль, тыс. р./шт. |
| А | ||||
| Б | ||||
| В | ||||
| Неокрашенные В |
1. Какую максимальную прибыль может получить мастер Гамбс (тыс.р.)?
2. Следует ли продавать неокрашенные столы типа В?
3. На сколько увеличится прибыль, если объем использования трудовых ресурсов на каждой работе возрастет на 1%? (Для ответа на этот вопрос не требуется проведения оптимизационных расчетов.)
Задача 1.5
Фирма "Полесов" испытывает необыкновенный рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе - газовые мангалы и угольные мангалы. Фирма заключила контракт на поставку ежемесячно 20 тыс. угольных и 10 тыс. газовых мангалов.
Производство мангалов ограничивается возможностями трудозатрат на обработку в трех цехах: производства, сборки и упаковки. В таблице показано, сколько чел-ч затрачивается в каждом цехе на производство каждой единицы продукции и сколько чел-ч имеется в наличии в каждом из цехов.
| Цех | Трудозатраты на один мангал, чел-ч/шт. | Количество чел-ч в наличии, в месяц | |
| угольный | газовый | ||
| Производства | 0,310 | 0,20 | |
| Сборки | 0,15 | 0,25 | |
| Упаковки | 0,05 | 0,05 |
Из-за ограниченности количества человеко-часов фирма не может полностью удовлетворить спрос своими силами. Поэтому она провела переговоры с другим производителем, который в настоящее время располагает избыточными мощностями. Этот производитель согласился поставлять фирме в любом соотношении угольные мангалы по 50 тыс.р. за штуку и газовые мангалы по 100 тыс.р. за штуку. Эти цены превышают себестоимость мангалов на заводе фирмы "Полесов" на 10 тыс.р. за каждый угольный и на 15 тыс.р. за каждый газовый мангал. Задача фирмы состоит в том, чтобы найти такое соотношение закупаемых и производимых мангалов, которое привело бы к минимальным затратам при удовлетворении спроса.
I. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта (тыс.р.)?
2. Сколько газовых мангалов следует приобрести фирме "Полесов"?
3. До какой величины должны увеличиться издержки на приобретение одного газового мангала, чтобы фирма "Полесов" отказалась от их покупки на стороне?
Задача 1.4
Фирма "Пегас и Парнас" производит три типа химикатов. На предстоящий месяц фирма заключила контракт на поставку следующих количеств трех типов химикатов:
| химикаты | продажи по контракту, кг |
Производство фирмы ограничено наличием времени на обработку в двух химических реакторах. Каждый вид химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. В следующей таблице приведен фонд рабочего времени в часах, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одного килограмма каждого химиката в каждом реакторе (ч/кг).
| Химикаты | Возможности реактора, ч | |||
| Реактор 1 | 0,05 | 0,04 | 0,01 | |
| Реактор 2 | 0,02 | 0,06 | 0,03 |
Из-за ограниченных возможностей, связанных со временем на обработку в реакторах, фирма "Пегас и Парнас" не имеет достаточных мощностей, чтобы удовлетворить спрос за счет производимой продукции. Следовательно, она должна купить какие-то химикаты на стороне, расширив за счет этих покупок свои возможности и перепродав эти химикаты своим потребителям. Ниже приводится таблица затрат на производство химикатов самой компанией и на покупку их на стороне.
| Химикаты | Затраты на производство, тыс.р./кг | Затраты на покупку, тыс.р./кг |
| 2,50 | 2,80 | |
| 1,75 | 2,50 | |
| 2,90 | 3,25 |
Цель фирмы состоит в том, чтобы выполнить заказ клиента с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько и каких продуктов надо производить у себя, а сколько надо купить.
1. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта (тыс.р.)?
2. Сколько химикатов вида 2 следует купить (кг)?
3. До какой величины должны увеличиться затраты на покупку химикатов вида 2, чтобы фирма "Пегас и Парнас" отказалась от их приобретения на стороне? (Для ответа на этот вопрос не требуется проведения оптимизационных расчетов.)
Задача 2.1
Совхоз закупает корма трех видов. Цены на корма разные. В кормах содержатся питательные вещества четырех видов. Требуется так составить кормовой рацион, чтобы в нем содержалось необходимое количество питательных веществ и затраты на покупку кормов были минимальными. Данные приводятся в таблице.
| Питательные вещества, кг/т | Виды кормов | Нормы содержания веществ в рационе, кг | ||
| В1 | В2 | В3 | ||
| А1 | Не менее 20 | |||
| А2 | Равно 4,28 | |||
| А3 | Не менее 25, но не более 35 | |||
| А4 | Не менее 40 | |||
| Цена за 1 т корма, тыс. р. |
1. Какое количество корма вида В2 следует закупить (т)?
2. Какое общее количество кормов следует закупить (т)?
3. Каковы минимальные затраты на покупку кормов (тыс.р.)?
Задача 2.2
В аптеке продается семь наименований поливитаминов. Каждое наименование содержит витамины трех различных типов. Цены на витамины различны. Необходимо пройти профилактический курс, в течение которого с минимальными суммарными затратами получить 100 единиц витамина А, 80 - витамина С и 120 единиц витамина В. Необходимое количество поливитаминов покупается одновременно.
| Витамины | Содержание витаминов, ед./г | Всего необходимо | ||||||
| Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 | Р6 | Р7 | ||
| А | ||||||||
| С | ||||||||
| В6 | ||||||||
| Цена за 1 г, тыс.р. | 3,5 |
1. Какое общее количество поливитаминов следует принять (г)?
2. Какое количество поливитамина Р1 следует принять (г)?
3. Каковы минимальные затраты на профилактический курс (тыс.р.)?
Задача 2.3
"Южная алкогольная компания" импортирует смеси трех сортов виски - ирландского, шотландского и канадского. Смешивают их согласно рецептам, устанавливающим максимум или минимум процентного содержания ирландского и канадского виски в каждой смеси. Компания стремится к получению максимальной прибыли ежедневно.
Инструкция по составлению смесей
| «Старый Джек» | Не меньше, чем 60% ирландского | |
| Не больше, чем 20% канадского | ||
| «Специальное» | Не меньше, чем 15% ирландского | |
| Не больше, чем 60% канадского | ||
| «Юный Френзи» | Не больше, чем 50% канадского |
Запасы трех основных видов виски и их стоимость показаны ниже.
| Сорт виски | Наличие, л/день | Стоимость, р/литр |
| Ирландское Шотландское Канадское |
1. Сколько ежедневно следует производить смеси "Старый Джек" (л)?
2. Какова максимальная прибыль в день (т.р.)?
Задача 2.4
Мощности завода по производству удобрений позволяют произвести в текущем месяце 1000 т нитратов, 1800 т фосфатов и 1200 т поташа. В результате смешения этих активных ингредиентов с инертными, запасы которых не ограничены, могут быть получены три типа удобрений.
В таблице указано содержание активных ингредиентов (нитратов, фосфатов и поташа) в смеси.
| Типы удобрений | Процентное содержание активных ингредиентов | Цена, тыс. р./т | ||
| Нитраты | Фосфаты | Поташ | ||
| Цена, тыс. р./т |
Цена инертных ингредиентов составляет 5 тыс.р./т. Затраты смешения, упаковки и продажи составляют 15 тыс.р./т для каждого типа удобрений. Существует соглашение о поставке 6000 т удобрений типа 1.
1. Сколько удобрений типа 3 следует производить (т)?
2. Какова максимальная прибыль (тыс.р.)?
Задача 2.5
На кондитерской фабрике изготовляют три вида восточных сладостей, для которых используют миндаль, фундук и арахис. Миндаль покупается по цене 6,5 тыс.р. за кг , фундук - 2,5 тыс.р., а арахис - 3,5 тыс.р.
Продукт 1 должен содержать не менее 50% миндаля и не более 25% фундука, продукт 2 - не менее 25% миндаля и не более 50%, продукт 3 может содержать любое количество миндаля, фундука и арахиса. Продажная цена продукта 1 – 5 тыс. р. за кг, продукта 2 – 3,5 тыс. р. за кг, продукта 3 – 2,5 тыс. р. за кг. Запасы сырья ограничены: миндаля — 100 кг, фундука — 100 кг, арахиса — 60 кг.
1. Какое количество продукта 2 следует производить, чтобы фабрика получила максимальную прибыль?
2. Какова максимальная прибыль?
Задача 3.1
Из 500 листов железа первого размера и 300 листов железа второго размера несколькими способами выкраиваются три вида деталей. Даны нормы одновременного выхода деталей по различным способам.
| Вид детали | Листы размера 1 | Листы размера 2 | |||
| Способы раскроя | |||||
| Количество деталей | |||||
Определите максимальное число комплектов деталей, если комплект состоит из четырех деталей вида 1 , трех деталей вида 2 и двух деталей вида 3.
1. Сколько листов железа размера 2 раскраивается по первому способу?
2. Каково максимальное количество комплектов?
3. На сколько изменится максимальное количество комплектов, если в комплект решено добавить третью деталь вида З?
Задача 3.2
При раскрое деталей единственного изделия на швейной фабрике используются два артикула ткани. Изделие собирается из двух деталей, причем каждая из этих деталей может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, выход деталей каждого типа указан в следующей таблице.
| Способ раскроя | Ткань 1 | Ткань 2 | ||
| 1-ый тип детали | 2-ый тип детали | 1-ый тип детали | 2-ый тип детали | |
На фабрику ткани 1 поступает в два раза больше (по длине), чем ткани 2. Выход готовых изделий должен быть максимальным.
1. Какая доля ткани 2 должна раскраиваться по способу 1 ?
2. На сколько (%) изменится выход готовых изделий по сравнению с первоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество обеих тканей?
Задача 3.3
На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо получить не менее 470 отрезков по 45 см и не менее 450 отрезков по 80 см. Как разрезать имеющиеся стержни, чтобы сократить до минимума отходы?
1. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?
2. Какова величина отходов после раскроя (см)?
3. Может ли увеличение потребности в стержнях длиной 80 см привести к сокращению отходов?
Задача 3.4
В цех поступили стержни длиной 107 см. Для дальнейшего производства потребуется не менее 210 отрезков длиной 26 см, не менее 163 отрезков по 29 см и не менее 177 - по 32 см. Необходимо удовлетворить данную потребность, разрезав при этом как можно меньше стержней.
1. Сколько стержней необходимо разрезать?
2. Какова при этом величина отходов (см)?
Задача 3.5
Завод заключил договор на поставку комплектов отрезков стержней длиной по 18, 23 и 32 см. Причем количества отрезков разной длины в комплекте должны быть в соотношении 1:5:3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?
1. Сколько комплектов стержней будет выпущено?
2. Какова при этом величина отходов (см)?
Задача 4.1
Президент фирмы Г.Альба заключил контракт на покупку земельного участка стоимостью 900 млн р. В соответствии с условиями контракта задаток в размере 200 млн р. необходимо уплатить через два месяца, а остальное — через шесть месяцев, когда участок будет освобожден прежним владельцем.
Чтобы расплатиться полностью, Альба решил образовать целевой фонд, который предполагает использовать для инвестиций, чтобы получить проценты и вовлечь их в сумму, которую следует уплатить продавцу земли. Возможности инвестирования представлены в следующей таблице.
| Возможные инвестиции | Инвестиции возможны только в начале | На сколько месяцев | Процент | Индекс риска |
| А В С D | месяца 1, 2, 3, 4, 5 и 6 месяца 1, 3 и 5 месяца 1 и 4 месяца 1 | 1,5 3,5 6,0 11,0 |
Рассмотрите следующие цели.
Цель 1. При данных возможностях инвестирования и требуемом графике выплат разработать стратегию вложений, минимизирующую наличную сумму, которую Г.Альба должен иметь в самом начале для выплаты всех денег по заключенному контракту.
Цель 2. При разработке этой стратегии Г.Альба должен быть уверен, что в течение каждого месяца средний индекс риска инвестированных фондов не будет превышать 6.
Цель 3. В начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестированных фондов не должна превышать 2,5 месяца.
1. Какой размер целевого фонда следует иметь без учета риска и продолжительности погашения инвестиций (тыс.р.)?
2. Следует ли в этом случае делать инвестиции вида А (на месяц I)?
3. Какой размер целевого фонда следует иметь с учетом риска, но без учета продолжительности погашения инвестиций (тыс.р.)?
4. Какой размер целевого фонда следует иметь с учетом риска и продолжительности погашения инвестиций (тыс.р.)?
Задача 4.2
У М.Наваррской есть 500 тыс.р., которые можно инвестировать. Необходимо максимизировать денежную наличность к концу шестимесячного периода. Возможные виды инвестиций представлены в таблице.
| Возможные инвестиции | Инвестиции возможны только в начале | На сколько месяцев | Процент | Индекс риска |
| А В С D | месяца 1, 2, 3, 4, 5 и 6 месяца 1, 3 и 5 месяца 1 и 4 месяца 1 | 1,5 3,5 6,0 11,0 |
В течение каждого месяца средний индекс риска инвестированных фондов не должен превышать 6.
1. Какова максимальная денежная наличность к концу шестимесячного периода (тыс.р.)?
2. Предположим, что в дополнение к 500 тыс.р., имеющимся в распоряжении М.Наваррской, предполагается выделить ей еще 200 тыс.р. в начале месяца 4. Какова в этом случае максимальна? денежная наличность к концу шестимесячного периода (тыс.р.)?
Задача 4.3
| Год | Проект | ||||
| А | В | С | D | Е | |
| 2001 2002 2003 2004 | -1,0 +0,3 +1,0 | -1,0 +0,3 +1,0 | -1,0 +1,0 | -1,0 0 +1,75 | -1,0 +1,4 |
Таблица, приведенная выше, отражает пять проектов, которые конкурируют между собой за получение инвестиционных фондов компании.
Таблица показывает, какие наличные деньги будут получен на 1 р. инвестиций. Например, проект А — это инвестиции, которые можно сделать в начале 2001 г. на два следующих года, причем в конце этого же года можно возвратить 0,3 р. на вложенный рубль) а в конце следующего года можно получить еще 1 р. Максимальная сумма, которая может быть вложена в проект А, составляет 500 млн р. По другим проектам объем вложений не ограничен. Проект В аналогичен проекту А, но вложение денег можно сделать только в начале следующего года. И так далее. Деньги, полученные в результате инвестиций, можно реинвестировать в соответствии с предложенной схемой. В дополнение к этому компания может получать по 6% годовых за краткосрочный (на один год) вклад всех денег, которые не были вложены в инвестиции в данном году.
У компании имеется 1 млрд р. для инвестиций. Она хочет максимизировать сумму денег, полученных к 2004 г. Какова максимальная сумма денег, которую можно получить в 2004 г. (млн р.)?
Задача 5.1
В трех цехах машиностроительного завода, выпускающих разные виды продукции, предусмотрено следующее количество рабочих мест: 230, 500 и 325. В связи с наложением штрафных санкций за невыполнение договорных обязательств фонд заработной платы на заводе сокращен до 3 млрд. р., что составляет в среднем 8 млн. р. в день. Это влечет за собой сокращение числа рабочих. Высвободившихся рабочих необходимо после переподготовки перевести на другие предприятия. Стоимость переподготовки одного рабочего 50 тыс.р./день. Каково общее минимальное число сокращаемых рабочих мест? Какое сокращение рабочих мест следует предусмотреть в каждом цехе, чтобы с учетом фонда времени работы оборудования и фонда заработной платы обеспечить максимальный доход (величина дневной производительности в стоимостном выражении за вычетом затрат на переподготовку рабочих)? Необходимые данные приведены в таблице.
| Цеха | Нормочасы работы оборудования на 1 чел-день | Фонды времени работы оборудования | Дневная производительность труда, тыс.р./чел-день | Зарплата, тыс.р./чел-день |
| 8,0 | ||||
| 7,5 | 10,5 | |||
| 8,0 |
1. Каково общее минимальное число сокращаемых рабочих без учета величины дохода?
2. Какова максимальная величина дохода при производительности труда в цехе 1150 тыс.р./чел-день (млн. р.)?
3. Каково общее число рабочих на заводе, обеспечивающее максимальную величину дохода при производительности труда в цехе 1200 тыс.р./чел-день?
Задача 5.2
В район нового строительства самолетами ИЛ-76 и АН-124 перебрасываются бульдозеры, тягачи, автокраны (одна единица техники за перелет). Потребность в технике различна, но приоритетность в ее использовании одинакова.
Самолеты базируются на разных аэродромах, соответственно различны и имеющиеся на них запасы топлива: на базе ИЛ-76 - 100 т, на базе АН-124 - 86 т. Перевозки оплачиваются по следующим расценкам (за 1 ед. техники); бульдозеры - 1243 тыс.р., тягачи - 1100 тыс. р., автокраны - 1050 тыс.р.
Требуется составить план перевозок, по которому можно было бы в максимальной степени удовлетворить потребности в технике и в то же время учесть интересы Аэрофлота в получении прибыли. Необходимые данные приведены в таблице.
| Техника | Потребность, не менее | Удельный расход топлива на перевозку единицы техники | |
| ИЛ-76 | АН-124 | ||
| Бульдозеры | 2,7 | ||
| Тягачи | 2,5 | 2,6 | |
| Автокраны | 2,26 | 2,3 |
1. Каково минимальное количество недопоставленной техники, если не учитывать интересы Аэрофлота в получении прибыли?
2. Какую максимальную прибыль можно получить (тыс.р.), если не пытаться в наибольшей степени удовлетворить потребности в технике?
3. Какое количество техники (шт.) можно перевезти, обеспечивая максимальную прибыль?
Задача 5.3
Лихтеровоз может принять на борт до 2100 стандартных контейнеров. В порту отгрузки находятся 1500 контейнеров с продовольственными товарами, 1300 контейнеров с бытовой техникой, 1200 контейнеров с продукцией производственного назначения. Прибыль от реализации одного контейнера соответственно: 4,8; 5,8; 7,9 млн. р. Удельные затраты на перевозку соответственно 35, 40, 50 тыс. р. На перевозку можно затратить до 80 млн. р. Эта сумма не учитывается в прибыли от реализации продукции.
А. Фирма заинтересована в максимальной прибыльности рейса. Предложите вариант загрузки лихтеровоза.
Б. Возможно, что фирме придется заплатить 5 млн. р. за хранение одного неперевезенного контейнера с продовольственными товарами, 1 млн. р. за хранение одного контейнера с бытовой техникой или с продукцией производственного назначения. Какой вариант загрузки следует принять в этом случае?
1. Какую максимальную прибыль можно получить в случае, если штрафных санкций не будет (млн. р.)?
2. Какая должна быть минимальная величина прибыли от реализации одного контейнера (млн. р.) с продуктами питания, чтобы стала выгодна их перевозка?
3. Какую максимальную прибыль можно получить в случае, если придется платить за хранение неперевезенных контейнеров (млн. р.)?
Задача 5.4
Завод заключил договор на поставку своему смежнику металлических заготовок для производства комплектов деталей. Детали выполняются по индивидуальному заказу, масштабы производства строго оговорены, и сверхплановая продукция оплачена не будет. Приоритетным является комплектность заказа. Заготовки представляют собой отрезки стержней по 20, 23, 26 см. Количества отрезков разной длины должны находиться в соотношении 1:3:5. В наличии имеется 120 стержней длиной 92 см. Договор заключен на 50 комплектов. Каким образом должно быть организовано производство заготовок, чтобы потребности смежника были бы удовлетворены в наибольшей степени?
Какое максимальное количество комплектов можно произвести из имеющегося материала?
Задача 5.5
В рамках проекта создания нового автопилота министерство заказало заводу радиодеталей 1000 комплектов деталей повышенной надежности. В комплект входят: два конденсатора, три диода, пять транзисторов. Часть необходимых для производства материалов лимитирована (керамика, фольга, специальное стекло). В связи с этим существует возможность, что при имеющихся на складе запасах сырья заказ не будет выполнен полностью. Нормы расхода сырья приведены в таблице.
| Сырье | Нормы расхода сырья, г | Запасы сырья на складе, г | ||
| Конденсаторы | Диоды | Транзисторы | ||
| Керамика | 0,6 | 0,01 | - | |
| Фольга | 0,5 | 0,3 | 0,2 | |
| Специальное стекло | - | 1,2 | - |
Какое максимальное количество комплектов радиодеталей можно произвести при имеющихся запасах сырья?
Задача 5.6
Домостроительный комбинат должен выпустить 200 стандартных домиков для организации нескольких метеорологических станций в районах Крайнего Севера. Все комплектующие детали домиков выпускаются в специальном исполнении, что требует дополнительных затрат и делает их выпуск малорентабельным. Поэтому комбинат не заинтересован в выпуске сверх заказа. Однако за каждый процент невыполнения договора комбинат платит штраф в размере 2 млн. р. В комплект поставки входят: 3 оконные рамы, 4 двери, 6 м3 досок, 10 м2 стекла, 250 шт. кирпичей. Детали, произведенные сверх комплекта, могут быть реализованы. Требуется построить производственную программу комбината, обеспечивающую максимальное, с учетом имеющихся ресурсов, приближение объема производства к плановому заданию. Данные о ресурсных возможностях комбината приведены в таблице.
| Ресурсы | Изделия | |||||
| Рамы, на 1 шт. | Двери, на 1 шт. | Доски, на 1 комплект | Стекло, на 1 м2 с учетом боя | Глина, на 1 кирпич | Всего ресурсов | |
| Дерево, м3 | 0,1 | 0,2 | 7,0 | - | - | |
| Стекло, м2 | - | 0,3 | - | 5,2 | - | |
| Глина, т | - | - | - | - | 0,0014 |
1. Какое максимальное количество домиков можно изготовит из имеющихся ресурсов?
2. Какой штраф придется заплатить комбинату (млн. р.)?
Задача 6.1
Кооператив, созданный при машиностроительном заводе для выпуска товаров народного потребления из отходов основного производства, делает электронагревательные приборы трех видов, используя три типа оборудования. Состояние оборудования требует частого профилактического ремонта, поэтому фонд фактического времени его использования ограничен 4000 ч по каждому виду. Исходным сырьем производство обеспечено полностью. Удельные затраты времени использования оборудования и прибыль от реализации 1 ед. продукции даны в таблице.
| Оборудование | Продукция | ||
| Вид 1 | Вид 2 | Вид 3 | |
| Тип 1 | 0,4 | 0,6 | 0,7 |
| Тип 2 | 0,1 | 0,2 | 0,15 |
| Тип 3 | 0,3 | 0,61 | 0,4 |
| Прибыль | 2,3 | 3,8 | 5,6 |
| Заказ, шт. |
Спрос на продукцию большой. На каждый вид изделий кооперативу сделан заказ. В целях обеспечения благоприятной конъюнктуры желательно выполнить заказ по всем видам изделий. Важное значение для членов кооператива имеет прибыль от реализации продукции.
Предложите вариант производственной программы.
1. Чему равна общая минимальная величина невыполнения заказа (шт.)?
2. Какова максимальная прибыль?
Задача 6.2
Запасы топлива в районе для трех комбинатов - главных потребителей тепла - составляют: нефть - 200 тыс. т, уголь - 100 тыс. т, газ - 8 млн. м3. Удельная теплоотдача видов топлива: нефть - 3 усл. ед./т, уголь - 2 усл. ед./т, газ - 2,5 усл. ед./100 м3. Комбинаты выпускают три типа железобетонных панелей (по одному типу на каждом комбинате) для строительства жилых домов. Строительный трест разместил на комбинатах заказ на производство 150 комплектов панелей. Типовой проект предусматривает использование комплектующих в количествах 400:300:600. Удельная теплоемкость продукции: первый комбинат - 3 усл. ед./шт., второй - 4, третий - 3,5. В процессе производства используются цемент и металлическая арматура. Удельные расходы этих ресурсов по типам панелей составляют: цемент - 3, 2,3, 2,5 т/шт., арматура - 0,8, 0,9, 1,2 т /шт. Данные ресурсы поступают от одного поставщика в количествах: цемент - 500 тыс. т, арматура - 190 тыс. т. Прибыль комбинатов от реализации 1 ед. продукции: 1204, 870, 931 тыс.р. Трест согласен закупать и сверхплановую продукцию. Требуется составить план производства панелей на комбинатах. Критерии: максимальное число комплектов и максимальная прибыль.
1. Чему равно максимальное количество комплектов?
2. Какова максимальная прибыль (млн. р.)?
Задача 6.3
Машиностроительный завод организует выпуск мотокультиваторов. Основной элемент - мотоблок - комплектуется навесными орудиями: 6 ножей для рыхления почвы, насос для полива, транспортная тележка. Полная программа рассчитана на 10000 комплектов. На производство ножей идет высокопрочная сталь. Удельный расход ее на один нож 2,2 кг, общий запас стали на заводе составляет 129 т. Ножи подвергаются термической обработке в вакуумных печах. Удельные затраты времени использования печей на один нож 0,3 мин. Общий фактический фонд времени их использования 300 ч. От смежника поступают колеса из расчета 2 шт. на мотоблок и 4 шт. на тележку. Получено 58346 колес. Кузов тележки изготавливается из листового железа. На один кузов идет 2,9 м3. Наличие железа - 28000 м3.
Насосы и двигатели мотоблоков поступают по импорту. Стоимость их соответственно 15 и 53 дол. Заводом получен кредит на сумму 700000 дол. Прибыль от реализации 1 шт. каждого элемента комплекта составляет: мотоблок - 375 тыс.р., нож - 2,48, насос - 83, тележка - 213 тыс.р. Торговля организуется по предварительным заказам на полную комплектность, затем рассматривается вопрос реализации отдельных элементов в розницу для увеличения прибыли завода.
1. Чему равно максимальное число комплектов?
2. Какова максимальная прибыль (тыс.р.)?
Задача 7.1
Кооператив по производству мужских головных уборов рассматривает возможность освоения новых рынков сбыта в пяти городах. Возможности сбыта невелики, так что в каждый город достаточно направить одного представителя кооператива.
| Города | Г1 | Г2 | Г3 | Г4 | Г5 |
| Спрос, млн. р. | 5,2 | 7,0 | 6,4 | 4,8 | 5,0 |
| Представители кооператива | П1 | П2 | П3 | П4 | П5 | П6 |
| Оценка степени освоения рынка | 0,75 | 0,60 | 0,55 | 0,80 | 0,50 | 0,45 |
Данные таблиц содержат оценку спроса на изделия кооператива в пяти городах, доли потенциального освоения рынка для шести работников кооператива, которые могут быть направлены в эти города.
1. Укажите номер представителя кооператива, которого следует направить в город Г2?
2. Укажите номер представителя кооператива, которого следует направить в город Г4?
3. Каков максимальный общий объем реализации продукции кооператива (млн. р.)?
Задача 7.2
Цеху металлообработки предложено выполнить срочный заказ на производство партии деталей. Для производства детали необходимо выполнить операции на четырех станках. В настоящий момент в цехе работают четыре слесаря высокой квалификации, каждый из которых может работать на любом станке, но с различным процентом брака. Процент брака при обработке требуемой детали известен из документации ОТК.
| Рабочие | Станки | |||
| С1 | С2 | С3 | С4 | |
| Р1 | 2,3 | 1,9 | 2,2 | 2,7 |
| Р2 | 1,8 | 2,2 | 2,0 | 1,8 |
| Р3 | 2,5 | 2,0 | 2,2 | 3,0 |
| Р4 | 2,0 | 2,4 | 2,4 | 2,8 |
Каким образом мастеру следует распределить работу на станках, чтобы минимизировать процент брака (предполагается, что ОТК проверяет готовую деталь, т.е. общий процент брака определяется как сумма процентов брака, допущенного всеми рабочими)?
1. Укажите номер станка, на котором должен работать рабочий РЗ?
2. Чему равен минимальный общий процент брака?
Задача 7.3
Пять учебных групп экономического факультета МГУ собираются посетить во время производственной практики 10 предприятий и НИИ. Каждая учебная группа может посетить две организации. В результате опроса студентов выявлены предпочтения каждой группы для 10 организаций (1 означает "наиболее предпочтительна", а 10 - "наименее предпочтительна''). Предпочтения каждой из пяти учебных групп показаны в таблице (П - предприятия, Н - НИИ ).
Требуется определить, какие две организации должна посетить каждая группа, чтобы в максимальной степени учесть предпочтения всех студентов?
| Организация | Группа | ||||
| Н1 | |||||
| П2 | |||||
| П3 | |||||
| Н4 | |||||
| П5 | |||||
| Н6 | |||||
| П7 | |||||
| П8 | |||||
| Н9 | |||||
| Н10 |
1. Чему равна сумма оценочных баллов, соответствующая наилучшему распределению групп по организациям?
2. Укажите номер группы, которая должна посетить НИИ-4? Укажите теперь новый вариант распределения так, чтобы каждой группе досталось по одному промышленному предприятию и одному НИИ.
3. Чему равна сумма оценочных баллов в этом случае?
Задача 7.4
Самолеты компании Аэрофлот летают между Москвой и Вильнюсом. Полеты беспосадочные. График движения показан в таблице.
| Из Москвы в Вильнюс | Рейс | Отправление | Прибытие | Из Вильнюса в Москву | Рейс | Отправление | Прибытие |
| 6.00 | 8.00 | 7.00 | 9.00 | ||||
| 8.00 | 10.00. | 10.00 | 12.00 | ||||
| 12.00 | 14.00 | 13.00 | 15.00 | ||||
| 15.00 | 17.00 | 16.00 | 18.00 | ||||
| 19.00 | 21.00 | 21.000 | 23.00 | ||||
| 23.00 | 1.00 | 0.00 | 2.00 |
Рейсы могут обслуживаться российскими или литовскими экипажами. Какие экипажи должны обслуживать рейсы, чтобы общее время пребывания экипажей в аэропортах за границей было минимальным (следует учитывать только то время, которое экипаж проводит в аэропорту чужой страны)?
1. Верно ли, что рейс 310 должен обслуживаться российским экипажем?
2. Верноли, что рейс 150 должен обслуживаться литовским экипажем?
3. Каково минимальное общее время пребывания экипажей в аэропортах за границей (ч)?
Задача 7.5
Фирма получила заказы на разработку пяти программ. Для этой цели приглашены пять программистов, каждый из которых должен написать одну программу. В следующей таблице приведены оценки времени (в днях), необходимого программистам для выполнения каждой из этих работ.
| Программист | Программа | ||||
| Галкин | |||||
| Палкин | |||||
| Малкин | |||||
| Чалкин | |||||
| Залкинд |
А. Каждому программисту предложена оплата 60 тыс.р. за один рабочий день. Как фирме следует распределить работу между программистами, чтобы минимизировать общие издержки на разработку программ?
1. Укажите номер программы, разработку которой следует поручить Малкину.
2. Каковы будут в этом случае общие минимальные издержки (тыс.р.)?
Б. Не все программисты согласились с предложенной оплатой, обосновывая это тем, что имеют разную квалификацию. В результате была достигнута договоренность о следующих размерах оплаты.
| Программист | Оплата, тыс. р./день |
| Галкин | |
| Палкин | |
| Малкин | |
| Чалкин | |
| Залкинд |
Изменится ли в этом случае распределение работ между программистами? Больше или меньше, чем в предыдущем случае, придется заплатить фирме за выполнение всех работ?
3. Укажите номер программы, разработку которой следует поручить Малкину.
4. Каковы будут в этом случае общие минимальные издержки?
Задача 8.1
Фирма "Время-вперед" хочет разработать план сборки компьютеров. Прогноз спроса на компьютеры для каждого квартала следующего года показан в таблице.
| Квартал | Спрос |
| I | |
| II | |
| III | |
| IV |
При работе в одну смену фирма может собирать 1200 компьютеров каждый квартал при стоимости сборки одного компьютера 100 тыс.р. Если ввести вторую смену, то ежеквартально можно собирать еще 800 компьютеров. Но сборка каждого компьютера во вторую смену обходится дороже - 110 тыс.р. Изготовленные в данном квартале компьютеры могут продаваться в одном из последующих кварталов. При этом хранение каждого компьютера обходится в 25 тыс.р. за квартал.
Сколько компьютеров следует собирать ежеквартально в первую и во вторую смены, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами.
1. На сколько процентов следует использовать мощность первой смены в 1 квартале?
2. Сколько компьютеров следует собрать и сбыть во 11 квартале?
3. Сколько компьютеров следует собрать во II квартале для сбыта в III квартале?
Задача 8.2
Фирма "Мой-до-дыр" оценила спрос на производимый ею лосьон для каждого из четырех следующих месяцев: 100 ящиков в июне, 140 ящиков в июле, 170 ящиков в августе и 90 ящиков в сентябре. Без использования сверхурочного времени фирма может производить до 125 ящиков лосьона в месяц. В сверхурочное время может быть произведено еще 25 ящиков в месяц, но производство каждого ящика обходится при этом на 100 ть1с.р. дороже. Хранение одного ящика в течение месяца обходится в 80 тыс.р.
Определите, сколько ящиков лосьона следует производить ежемесячно, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами.
1. Сколько ящиков лосьона следует произвести в июне?
2. Сколько ящиков лосьона следует произвести в августе?
Задача 9.1
Таблица содержит данные, иллюстрирующие задачу выбора места для первой государственной клиники лечения СПИД в Москве. Первый, наиболее важный критерий для выбора места — доступность клиники для пациентов. Следующий по важности критерий — размер арендной платы. Наиболее предпочтителен выбор нового Городского центра, так как помещение для клиники выделяется здесь бесплатно. Следующим важным критерием является необходимость обеспечить конфиденциальность пациентов, а следовательно, определенную конспиративность клиники. Наконец, следующее по важности требование — обеспечение удобства персонала с точки зрения парковки автомобилей и т.д.
| Факторы | Веса факторов | Парковая зона | Городской центр | Район автостанции |
| Доступность для пациентов Арендная плата Конспиративность Удобство персонала |
1. Следует ли размещать клинику в районе автостанции?
2. Чему равна взвешенная оценка для парковой зоны?
Задача 9.2
Корпорация "НУ-и-НУ" со штаб-квартирой в Черноморске должна сделать выбор между тремя городами для размещения своего нового операционного центра. Фирма выбрала шесть факторов, наиболее существенных для развития центра, и провела экспертную оценку весов для каждого из этих факторов.
| Номер | Фактор | Вес |
| Близость к порту Доступность ресурсов и цены Доступность и стоимость рабочей силы Расстояние от Черноморска Возможность общения Предложение оборудования |
Менеджер провел оценку пунктов по каждому фактору по 100-алльной шкале.
| Номер фактора | Пункт А | Пункт В | Пункт С |
1. Следует ли размещать центр в пункте С?
2. Чему равна взвешенная оценка для пункта В?
Задача 9.3
Леонид Арбалетов предполагает открыть новую фабрику в Туле, Ульяновске или Ижевске для производства оптических прицелов. Он провел оценку будущих фиксированных и переменных затрат.
| Место | Фиксированные затраты в год, тыс.р | Затраты на единицу продукта, тыс.р. | ||
| Материал | Труд | Накладные расходы | ||
| Ижевск Ульяновск Тула | 2000000 1800000 1700000 | 2,0 2,5 10,0 | 4,0 7,5 10,0 | 4,0 7,5 10,0 |
Нарисуйте кривые общих затрат для каждого из трех мест.
1. Укажите максимальный объем производства, при котором следовало бы выбрать Ульяновск.
2. Каков критический объем производства при выборе между Тулой и Ижевском?
Задача 9.4
Фиксированные и переменные затраты для четырех потенциальных мест строительства завода по производству мыла приведены в следующей таблице.
| Место | Фиксированные затраты, тыс.р. | Переменные затраты, тыс.р, |
| Москва Симферополь Орел Курск |
Нарисуйте кривые общих затрат для каждого из 4 мест.
1. При каком максимальном объеме производства следует выбрать Курск?
2. Предполагаемый объем производства 5000 шт. Какое место следует выбрать для размещения завода: Москву, Симферополь, Орел или Курск?
Задача 9.5
Главпочтамт в Сочи предполагает создать новое почтовое отделение для обслуживания семи почтовых отделений (ПО) на побережье. Так как расстояние имеет существенное значение, то место расположения нового почтового отделения может повлиять на эффективность его работы.
Используя данные, приведенные в следующей таблице, определите координаты размещения нового почтового отделения.
| Почтовые отделения | Координаты | Число поездок почтового фургона в день |
| ПО-1 ПО-2 ПО-3 ПО-4 ПО-5 ПО-6 ПО-7 | (10, 5) (3, 8) (4, 7) (15, 10) (13, 3) (1, 12) (5,5) |
1. Чему равно значение координаты х?
2. Чему равно значение координаты у?
Задача 10.1
Система банка Автодор позволяет клиенту совершать некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. Прибытие клиентов описывается законом Пуассона.
1. Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 мин?
2. Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин?
3. Если в течение 5 мин прибывает более трех клиентов, то возникает проблема перегруженности системы. Какова вероятность возникновения такой проблемы?
В системе банка Автодор время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 36 клиентов в час.
4. Каковы вероятности того, что время обслуживания составит: а) не более 1 мин, б) не более 2 мин, с) более 2 мин?
Определите следующие характеристики системы:
- вероятность того, что в системе нет требований;
- среднее число требований в очереди;
- среднее число требований v системе;
- среднее время ожидания;
- среднее время, которое клиент проводит в системе;
- вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания;
- вероятность того, что в системе находятся; а) 0 клиентов, б) 3 клиента и в) более 3 клиентов.
Задача 10.2
Справочная университетской библиотеки получает запросы, поступающие по пуассоновскому закону со скоростью в среднем 10 запросов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, скорость обслуживания — 12 запросов в час. Определите:
- вероятность того, что в системе нет запросов;
- среднее число запросов в очереди;
- среднее время ожидания;
- среднее время, которое запрос проводит в системе;
- вероятность того, что запросу придется ждать обслуживания.
Задача 10.3
Грузовики, прибывающие на обслуживание в порт, образуют одноканальную очередь.Их прибытие распределено по закону Пуассона. Время погрузки/разгрузки распределено экспоненциально. Средняя скоросТь прибытия — 12 грузовиков в день, обслуживания — 18 грузовиков вдень. Определите:
- вероятность того, что в системе нет грузовиков;
- среднее число грузовиков в очереди;
- среднее время ожидания;
- вероятность того, что прибывающему грузовику придется ждать обслуживания.
Задача 10.4
Контора принимает обрабатываемые единственным клерком заказы, поступающие по закону Пуассона со средней скоростью 6 заказов в день. Время на их обработку распределено экспоненциально со средним уровнем обслуживания 8 заказов в день. Определите:
- среднее число заказов в системе;
- среднее время ожидания начала обработки заказа клерком;
- среднее время, которое заказ проводит в системе.
Задача 10.5
В парикмахерской работает один мастер. Клиенты приходят со средней скоростью 2,2 человека в час, средний уровень обслуживания — 5 человек в час. Прибытие клиентов подчинено закону Пуассона, а время обслуживания распределено экспоненциально. Определите;
- вероятность того, что в системе нет требований;
- вероятность того, что один клиент стрижется и никто другой не ждет;
- вероятность того, что один клиент стрижется и еще один ждет;
- вероятность того, что один клиент стрижется и еще два ждут;
- вероятность того, что более двух клиентов ждут;
- среднее время ожидания.
Задача 10.6
Автосервис решил нанять нового механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть два кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7 тыс.р./ч. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать трех клиентов в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслужить четырех клиентов в час, но его можно нанять на работу за 10 тыс.р./ч. Клиенты прибывают со скоростью 2 человека в час. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности времени обслуживания, определите:
- среднее время, которое клиент проводит в очереди;
- среднюю длину очереди;
- среднее время, которое клиент проводит в системе обслу живания;
- среднее число клиентов в системе обслуживания;
- вероятность того, что система обслуживания окажется неза нятой, при условии найма одного или другого механика.
Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами сво ей очереди в 15 тыс.р./ч. Какого механика следует нанять, чтоб] обеспечить меньшие совокупные издержки? Каковы минималг ные совокупные издержки?
Задача 10.7
среднем 2,5 клиента. Единственный консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые рекомендации. Он тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин. Предполагая пу-ассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности обслуживания, определите:
- среднее время, которое клиент проводит в очереди;
- среднюю длину очереди;
- среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;
- среднее число клиентов в системе обслуживания;
- вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой.
Желательно, чтобы прибывающий клиент не ждал своей очереди в среднем более 5 мин. Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то что необходимо предпринять?
Предположим, что консультант способен уменьшить среднее время, которое он проводит с клиентом, до 8 мин. Какой стала средняя скорость обслуживания? Достигнута ли цель теперь?
Задача 10.8
"У Петра"— маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания-20 покупателей в час. Рассчитайте:
- среднее время, которое покупатель проводит в очереди,
- среднюю длину очереди,
- среднее время, которое покупатель проводит в магазине,
- среднее число покупателей в магазине,