Передаточная функция замкнутой САР равна
Переходные характеристики, соответствующие этому случаю, построены в нормированном виде на рис. 2.2 и по оси времени откладывается относительное время t = wt .
Рис.2.2
Оптимальный переходный процесс связан с минимизацией какого-либо оптимизирующего функционала, простейшим из которых является квадратичный
I1 = 
,
позволяющий рассчитать регулятор на минимум среднеквадратичной ошибки. При этом характеристические уравнения замкнутой САР для n = 1 ÷ 4 имеют вид:
p + w0
p2 + w0 p + w02
p3 + w0 p2 + 2 w02 p +w03
p4 + w0 p3+ 3 w02 p2 + 2 w03 p + w04
Переходные характеристики замкнутой САР, настроенной на минимум среднеквадратичной ошибки, построены на рис. 2.3.
Рис.2.3.
Более сложный оптимизирующий функционал, который учитывает сходимость переходного процесса, для n = 1 ¸ 4 выглядит следующим образом:
n = 2 
n = 3 
n = 4 
,
где ti - весовые коэффициенты, имеющие размерность времени.
В этом случае корни характеристического уравнения на комплексной плоскости при одинаковости углов располагаются на полуокружности радиуса w0. Впервые такое расположение корней было предложено Баттервортом. Характеристические уравнения замкнутой САР для n = 1 ¸ 4 имеют вид:
p + w0
p2 + 
w0 p + w02
p3 + 2w0 p2 + 2 w02 p + w03
p4 + 2,6 w0 p3 + 3,4 w02 p2 + 2,6 w03 p + w04
Переходные характеристики замкнутой САР с распределением корней в форме Баттерворта построены на рис. 2.4 и по сравнению с характеристиками биномиальных форм имеют незначительную колебательность и меньшее время регулирования. Во многих случаях они соответствуют интуитивному представлению об оптимальном переходном процессе. В электроприводе такая настройка регуляторов получила название оптимум по модулю.
Рис.2.4.
Рассмотрим примеры расчета параметров регулятора для разных систем автоматического регулирования.
ПРИМЕР 1.
САР частоты вращения двигателя постоянного тока, управляемого тиристорным преобразователем по цепи якоря.
Передаточная функция неизменяемой части системы Wн(p) равна
,
где Кн - коэффициент передачи неизменяемой части САР,
Кн = Кд Ктп Ктг Кп ,
Кд - коэффициент передачи двигателя,
Ктп - коэффициент передачи тиристорного преобразователя,
Ктг - коэффициент передачи тахогенератора,
Кп - коэффициент передачи потенциометра,
Тя ,Тэм ,Ттп - постоянные времени якорной цепи и электромеханическая двигателя и тиристорного преобразователя.
Выбираем ПИД - регулятор для компенсации постоянных времени двигателя и введения астатизма в систему:
Тогда передаточная функция разомкнутой САР будет
W (s) = 
,
если Тр1 = 
,
Тр2 = 
.
Передаточная функция замкнутой САР по управлению
Характеристическое уравнение замкнутой САР
p2 + A1 w0 p + w02 = 0,
где A1w0 = 1/Tтп , w02 = KS /Tтп
1. Биномиальная стандартная форма переходной характеристики
p2 + 2 w0 p + w02 = 0
Тогда 2w0 = 1 / Tтп и w0 = 1 / 2Tтп ,
поэтому КS = 1 / 4Tтп и Кр = KS / Kн
2. Переходная характеристика по минимуму среднеквадратичной ошибки
p2 + w0 p + w02 = 0
где w0 = 1 / Ттп ; КS = 1 / Ттп ; Кр = КS / Кн