Векторный потенциал магнитного поля
В той части пространства, где плотность тока d не равна нулю (правая часть уравнения (3.4) не равна нулю), магнитное поле можно рассматривать как вихревое. В этом случае вектор магнитной индукции можно представить в виде вихря некоторого вспомогательного вектора 
:
(3.6)
Вектор носит название векторного потенциала магнитного поля.
Единицей измерения для векторного потенциала является Вd/м.
Основанием для представления индукции в виде (3.6) служит то, что при этом всегда соблюдается закон непрерывности магнитного потока (3.2).
В однородной среде (m = const) для векторного потенциала справедливо уравнение Пуассона
(3.7)
и, в частности (при d = 0), уравнение Лапласа
. (3.8)
Общее решение уравнения (3.7) может быть представлено в следующем виде:
(3.9)
Интегрирование достаточно распространить по всему объему, где плотность тока 
Величина r – это расстояние от центра элемента объема dv, в котором плотность тока равна 
до точки, в которой определяется .
Данное выражение для определения вектора по заданному распределению тока в пространстве справедливо всюду, в частности и там, где 
.
Выражение (3.9) может быть упрощено, если токи протекают по контурам из линейных проводников, поперечные размеры сечений которых весьма малы по сравнению с длиной контуров и по сравнению с расстоянием от проводников до точек, в которых определятся . В этом случае формулу (3.9) можно преобразовать к следующему виду:
где l – длина контура; i – ток в контуре.
Выражение магнитного потока через векторный потенциал
Установим связь между магнитным потоком Ф сквозь некоторую поверхность s и векторным потенциалом магнитного поля. Имеем (3.1)
Согласно теореме Стокса последнее выражение можно переписать в виде:
(3.10)
Таким образом, магнитный поток сквозь поверхность s равен линейному интегралу векторного потенциала по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность.
Граничные условия
На поверхности раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями (рис. 3.1) равны между собой касательные составляющие магнитного поля
(3.11)
и нормальные составляющие магнитной индукции
(3.12)
Здесь индекс 1 относится к первой среде, а индекс 2 – ко второй.
Условия (3.11) и (3.12) можно представить и в таком виде
и 
.
Из данных граничных условий можно получить еще одно условие - условие преломления линий поля при переходе их из одной среды в другую:
, (3.13)
где q1 и q2 - углы между вектором магнитной индукции (или напряженности) и нормалями к границе раздела сред.
При этом, если вектор напряженности перпендикулярен к границе раздела, то магнитная индукция не меняется при переходе из одной среды в другую, а напряженность поля меняется скачком.
Большое практическое значение имеет вопрос о характере магнитного поля в воздухе около поверхностей стальных частей различных электротехнических устройств. Магнитные проницаемости ферромагнитной среды и воздуха сильно разнятся между собой. Если магнитные силовые линии выходят из стали (например, с m1 = 1000m0) в воздух (m2 = m0), то, как следует из уравнения (3.13), угол q2 будет много меньше угла q1. Практически можно считать, что линии магнитной индукции в воздухе нормальны к поверхностям тел из ферромагнитных материалов.