Неравенства Маркова и Чебышева
| |
Определение 33. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Определение 34. Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.
Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
Определение 35. Критическими точками (границами) Ккр называют точки, определяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Определение 36. Правосторонней (левосторонней) называют критическую область, определяемую неравенством К > Ккр, где Ккр > 0 (К < Ккр, Ккр < 0).
Определение 37. Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами K < К1, K > К2, где K2 > K1. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (причем Kkp > 0):
К < – Ккр, , K > Ккр, то есть |K| > Ккр.
Для отыскания критической области задаются уровнем значимости 
и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:
а) для правосторонней критической области
б) для левосторонней критической области
в) для двусторонней симметричной области
Определение 38. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза (то есть нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза).
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки).
Пусть 
- разности вариант с одинаковыми номерами.
| |
- средняя разностей вариант с одинаковыми номерами.
и, следовательно, выборочный коэффициент корреляции
6. Находим выборочный коэффициент регрессии и параметр b:
7. На основе полученных результатов запишем выборочное уравнение регрессии Y на X
8. Поскольку выборочный коэффициент корреляции с точностью до сотых r = 0,89, то между X и Y линейная корреляционная связь очень тесная.
Статистические гипотезы
Определение 26. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.
Определение 27. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H0.
Определение 28. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H1, которая противоречит нулевой.
Различают гипотезы, которые содержат одно и более одного предположений.
Определение 29. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.
Определение 30. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.
В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки 2-х родов.
Ошибка 1-го рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки 1-го рода называется уровнем значимости a.
Ошибка 2-го рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза и обозначается через b.
Определение 31. Статистическим критерием (просто критерием) называют случайную величину K, которая служит для проверки гипотезы.
| |
(16)
Неравенство Маркова используется при решении задач, если известно или может быть рассчитано математическое ожидание. При наличии или возможности получения информации о дисперсии следует также рассмотреть неравенства:
(17)
После сравнения результатов (16) и (17) в ответ следует записать более значимый из них.
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине превзойдет заданное положительное число e, удовлетворяет неравенству:
- первая форма неравенства;
(18)
- вторая форма неравенства.
Неравенство Чебышева используется при решении задач, если известна или может быть рассчитана дисперсия и искомый интервал значений случайной величины Х или возможный интервал вне искомого имеет границы симметричные относительно математического ожидания.