Статистическое распределение

Различают два вида совокупностей однородных объектов:

1. Генеральная – исходное множество объектов с соответствующим признаком, о котором необходимо составить представление;

2. Выборочная (выборка) – сравнительно небольшая часть генеральной совокупности, которая подлежит непосредственному исследованию.

В силу случайного попадания объектов в выборку числовые данные в выборке также случайны.

Задачей математической статистики является отбор выборочной информации и ее обработка, по результатам которой делают выводы о параметрах генеральной совокупности, рассчитываются оценки числовых характеристик распределения генеральной совокупности и устанавливается степень достоверности этих оценок.
Пусть для изучения количественного признака X из генеральной совокупности извлечена выборка x1, x2,…, xk объема n. Наблюдавшиеся значения xi (i = ) признака X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом.

где – выборочное среднее для вариант (наблюдавшихся различных дискретных значений) xi компоненты X ( - сумма по индексу i произведений вариант x = xi на соответствующие частоты этих вариант nx); – выборочная средняя вариант y = yj на соответствующие частоты этих вариант ny; ( – сумма по паре индексов ij произведений xi×yj на соответствующие частоты этих пар вариант nxy); – выборочные дисперсии компонент X и Y соответственно;

Выборочное линейное уравнение регрессии Y на X имеет вид

,

где – выборочной коэффициент регрессии Y и X; ; a + bx – линейное приближение условного среднего выборочного , то есть среднего значения случайной переменной Y при условии, что случайная компонента X принимает значение x.

Уравнения регрессии являются математической моделью изучаемой зависимости, исключающей случайные факторы, повлиявшие на полученные результаты.

Рекомендации к решению задачи:

1. Если в корреляционной таблице варианты заданы равноотстоящими соответственно для компоненты X с шагом h1 и для компоненты Y с шагом h2, то для упрощения расчетов следует перейти к условным вариантам , где паре вариант x*, y* соответствует максимальная частота nxy (если максимальная частота nxy соответствует нескольким парам X = x, Y = y , то выбирается ближайшая к центру корреляционной таблицы). Для новых переменных справедливы следующие соотношения: .
2. Расчеты следует выполнять с учетом правил приближенных вычислений, причем в результатах расчетов после соответствующего округ-

6) Искомый доверительный интервал для математического ожидания a имеет вид

причем (поскольку стандартное отклонение s0 генеральной совокупности неизвестно).

Следовательно, 2 – 1,718 < a < 2 + 1,718 или 0, 282 < а < 3,718.

7) Определим по таблице № 5 Приложений величину q = q(n; g) = = q(10; 0,95) = 0,65.

8) Доверительный интервал для стандартного отклонения s0 определим согласно неравенству s×(1 – q) < s0 < s×(1 + q), так как q < 1.

Следовательно, 2,404(1 – 0,65) < s0 < 2,404(1 + 0,65) или

0,8414< s0 < 3,9666.

9) Построим полигон частот:

 
 


ni

2

 

 

 

 

х

 

–2 –1 0 1 2 3 4 5

Рис. 4.

Ответ: 0, 282 < а < 3,718; 0,8414 < s0 < 3,9666 с надежностью g = 0,95.

 

Линейная корреляция

 

Выборочный коэффициент корреляции компонент X и Y двумерной случайной величиной (X, Y) выборочной совокупности объемом n рассчитывается по формуле

 


Определение 14. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi вариационного ряда и соответствующих им частот ni (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот wi (сумма всех относительных частот равна единице).

Определение 15. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1, n1), (x2, n2), …, (xk, nk).

Определение 16. Полигоном относительных частот (частости) называют ломаную, отрезки которой соединяют точки

 

Числовые характеристики