РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ У ЧАСТКОВИХ ПОХІДНИХ У ЗАДАЧАХ ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКИ
Під час аналізу EEC та їхніх підсистем у часткових похідних застосовуються тільки рівняння гіперболічного й еліптичного типу. Рівняння гіперболічного типу у формі так званих телеграфних і хвильових рівнянь використовуються під час аналізу електромагнітних процесів кіл з розподіленими параметрами (ліній електропередачі електричних машин, трансформаторів тощо). Еліптичні рівняння, наприклад у формі рівнянь Лапласа та Пуассона, застосовуються під час розв'язування задач теорії електромагнітного поля.
Деякі методи розв'язування гіперболічних рівнянь. У загальному випадку диференційні рівняння у часткових похідних, подібно як і рівняння у звичайних похідних, мають безліч розв'язань, і для виділення з них деяких конкретних, однозначних розв'язань необхідно задати певні додаткові умови. Для гіперболічних рівнянь ці умови задають у формі початкових і крайових (граничних) умов.
Вивчення методів розв'язування таких рівнянь здійснимо на прикладі рівнянь однорідної багатопровідної лінії, які запишемо у вигляді системи
| (5.160) |
де 
– багатовимірний вектор-стовпець напруг проводів (у тому числі й тросів) відносно землі; 
– відповідний вектор-стовпець струмів; 
– квадратна матриця резистансів петель провід – земля (у 
-му діагональному елементі записується сума резистансу 
-го проводу й землі 
, у взаємних елементах – резистанси землі) на одиницю довжини лінії; 
– квадратна матриця індуктивностей (записуються по діагоналі) і взаємоіндуктивностей (записуються у взаємних елементах) петель провід – земля на одиницю довжини лінії; 
– квадратна матриця кондуктансів на одиницю довжини лінії 
– квадратна матриця динамічних ємностей на одиницю довжини лінії 
– аргументи (відстань від початку лінії і час). Поздовжні параметри (коефіцієнти матриць та ) лінії залежать від частоти, поперечні параметри (коефіцієнти матриць та ) залежать від напруг.
Початкові умови для рівняння (5.160) задаються у вигляді закономірностей розподілу векторів напруг і струмів уздовж лінії в початковий момент часу, тобто
| (5.166) |
Крайові (граничні) умови визначаються конкретними схемами кінцевих пристроїв і записуються у вигляді рівнянь стану цих пристроїв.
Рівняння (5.160) можна записати також у координатах напруг 
– зарядів 
, якщо підставити
|
Хвильовий метод. Він є узагальненням відомого з курсу теоретичних основ електротехніки методу Д'Аламбера. Викладемо цей метод у формі, розробленій Ленінградською школою електроенергетиків» Спершу розглянемо однофазну лінію. Застосовуючи до її рівнянь у вигляді (5.160) операторне перетворення, знаходимо (матриці перетворюються у власні параметри, вектори – у скаляри):
|
Розв'язування гіперболічних рівнянь на основі їх зведення до звичайних диференційних рівнянь. Такі методи широко застосовують завдяки простоті й наочності. Для розв'язування рівнянь гіперболічного типу використовують звичайно метод прямих і метод розділення змінних.
Метод прямих. Цей метод полягає в апроксимації похідних по одній з незалежних змінних відношенням скінченних приростів функцій й аргументу, тобто по суті він є методом скінченних різниць по одному з аргументів. Така заміна похідних по одному аргументу перетворює диференційні рівняння у часткових похідних по двох незалежних змінних до вигляду звичайних диференційних рівнянь. Очевидно, метод прямих справедливий для будь-яких типів рівнянь У часткових похідних (гіперболічних, еліптичних, параболічних).
Під час розв'язування телеграфних рівнянь (5.160) цей метод застосовують по аргументу 
що набагато точніше, ніж по аргументу 
, бо відносна зміна координат режиму вздовж ліній електропередачі набагато менша, ніж за часом. Отже, при однаковій точності по 
одержуємо значно менше інтервалів, ніж по .
Метод розділення змінних (метод Фур’є). Суть його полягає у знаходженні розв'язань диференційних рівнянь у вигляді добутків функцій окремих змінних, підставлення яких у вихідне диференційне рівняння в часткових похідних дає змогу перетворити їх у систему звичайних диференційних рівнянь.
Застосування методу Фур'є справедливе тільки для одновимірного рівняння. Тому в задачах електроенергетики для інтегрування телеграфних рівнянь він використовується у поєднанні з методами, які дають змогу зводити багатофазні системи до однофазних.
Отже, класичним прикладом гіперболічних рівнянь для застосування цього методу е система вигляду.
| (5.183) |