Отрицание отрицаний и опровержение опровержений

Оглянемся на пройденный путь. Это необходимо сделать уже хотя бы для того, чтобы разрешить возникающее здесь сомнение. Ведь мы, как кажется, совершили в своих рассуждениях нечто вроде замкнутого круга, ибо на первый взгляд вернулись к тому, что было известно и без нас.

Анализ каких-то общих практически никогда не формулируемых условий количественного сравнения, а также обращение к фактам, накопленным в разных областях человеческого знания, позволили сделать вывод: «два плюс два» не «равночетыре»! Или, по меньшей мере, равно «четырем» далеко не во всех случаях. Однако во второй главе, мы обнаружили, что итог условного сложения все-таки должен соответствовать усвоенной в детстве истине. А если обнаруживаются расхождения с ней, необходимо искать причины возникающего противоречия и начинать новый виток нескончаемой спирали исследований. Правда, полученный результат кое в чем обогатил наши представления и о математике, и о ее предмете. Однако вместе с тем мы обнаружили, что простая и ясная истина в ходе анализа становилась все менее и менее отчетливой, в конце же концов вообще растаяла в густом тумане неопределенности. Оказалось, что познанное нами не означает завершение исследования, но, напротив, только распахивает дверь в неизвестное.

К тому же получается, что мы противоречим сами себе. Подвергнув едва ли не категорическому отрицанию известное всем со школьных лет, под давлением и каких-то других основоположений, и каких-то других фактов мы оказываемся вынужденными опровергать уже самих себя и все-таки соглашаться с гранитной незыблемостью всего, что ранее было отринуто нами: «дваплюсдва», несмотря ни на что, «равночетыре».

Можно ли вообще при таком непостоянстве доверять получаемым здесь выводам?

На первый взгляд, подобные повороты сюжета и в самом деле способны скомпрометировать анализ. Но все это только на первый, ибо в действительности ничего порочащего методологическую строгость построений в таком «опровержении опровержений» нет. Здесь нет замкнутого круга, когда, совершив оборот в лабиринте противоречий, мысль, как из тупика, возвращается в исходную точку, чтобы убедиться либо в своем бессилии, либо в полной завершенности, в окончательном закрытии вопроса. В действительности ее движение всегда развивается по спирали: возвращение и в самом деле имеет место, но сочетается с восхождением на новый уровень. Так в школе класс за классом перед нами распахивались просторы каких-то новых знаний, но в то же время углублялись и первые представления об уже знакомой действительности, обрастали новыми подробностями какие-то старые истины. Именно такова стандартная траектория познания, и если ход наших рассуждений описывался ею, можно утверждать, что с методологической стороны в нем не содержалось никаких ошибок.

В философии пройденный нами путь называется «отрицанием отрицания». Ведь философское отрицание — это вовсе не бездумное отбрасывание чего бы то ни было и не механическая замена его формально противоположным. Мы уже говорили, что схема:

1: «а» («горячее»);

2: «не-а» (нет, «холодное»);

3: «а» + «не-а» («горяче-холодное»),

или уже знакомая нам:

1. «а» («веревка»);

2. «не-а» («нет, столб, нет, змей»);

3. «а + «не-а» («веревко-столбо-змей»)

не имеет никакого отношения разрешению диалектических противоречий. Напротив, все то, что отрицается нами, сохраняется во всех дальнейших теоретических построениях,— но уже в каком-то преобразованном, переосмысленном виде. Другое дело, что на новом уровне познания все старые истины понимаются уже не как всеобщие и безусловные императивы сознания, но как положения, остающиеся справедливыми лишь в сравнительно ограниченном круге условий. И кстати, развитие науки показывает, что никакая новая теория, как правило, не расстается с основополагающими выводами, установленными в далеком прошлом, но включает их в себя. Такие «закрытия», как исключение «теплорода» или мирового «эфира» — в науке вещь крайне редкая; магистральный путь ее развития предполагает бережное сохранение всего, что вошло в золотой фонд нашей культуры. Кстати, здесь и один из незыблемых критериев истинности и любой новой концепции, которая выдвигается взамен старому объяснению фактов. Тому новому, где полностью отрицается всякая преемственность с традицией научной мысли, где решительно и безоговорочно отбрасывается все, что прочно вошло в аксиоматический фонд человеческого сознания, никакого доверия нет, и радикальная революционность новой теории, как правило, выдает дилетанта.

Здесь же и объяснение тому факту, что идеи Платона, Канта, Шопенгауэра, Гегеля и многих других переворачивавших все представления о действительности (сознаем мы это или нет) продолжают властвовать над нашими умами. Продолжают в том или ином виде, формировать состав всех сегодняшних теорий.

Известный не только познанию, но и развитию любой другой области человеческого духа, конфликт между новаторством и преемственностью разрешается именно отрицанием отрицания. Классическими примерами философского «отрицания отрицания» в науке, иными словами примерами приведения к гармоническому согласию старых и новых истин, являются соотношение ньютоновской и эйнштейновской механик, геометрии Евклида и геометрий, построенных для иных пространств, о существовании которых даже не задумывались в античности. Так, например, в теории относительности полностью сохраняет свою справедливость все то, что было установлено Галилеем и Ньютоном, но эта справедливость в современной физике ограничивается только теми событиями, которые развиваются в диапазоне сравнительно невысоких скоростей. Точно так же и все теоремы Евклида сохраняют свое действие в современной геометрии — но только там, где кривизна пространства стремится к нулю. Открытие Дальтоном дискретной структуры вещества возвращало европейскую мысль к атомистическим учениям Демокрита и Эпикура. Да и современные представления о пульсирующей Вселенной в конечном счете восходят к учениям древнегреческого философа из Эфеса. Впервые мысль о том, что «Этот космос, один и тот же для всего существующего, не создал никакой бог и никакой человек, — но всегда он был, есть и будет вечно живым огнем, мерами загорающимся и мерами потухающим» была высказана Гераклитом.[108] Однако никому не приходит в голову сказать, что наука в своем развитии возвращается и возвращается к тому, о чем говорилось более двух тысяч лет тому назад.

Вывод, к которому мы пришли, — это вовсе не механическое возвращение к исходной точке анализа. Мы и в самом деле воспроизвели известное, но уже совсем на другой ступени постижения истины. Нам довелось гораздо глубже понять то, что первоначально подвергалось вполне обоснованному сомнению. Открылось, что ответ на поставленный вопрос обязан учитывать не только абстрактные правила чистой математики; в расчет обязаны приниматься также и конкретные условия всех совершаемых нами операций и в первую очередь такие — далекие от всего количественного — начала, как чисто качественные характеристики анализируемых явлений. Словом, совершенный круг рассуждений — это совсем не возвращение к начальной точке, ибо теперь перед нами уже не та пустая убогая абстракция, которая подразумевалась на старте, но некоторое развернутое обогащенное знание. И нет ничего страшного в том, что открывающееся перед нами начинает с трудом укладываться в голове. Ведь задача познания — это прежде всего отрицание прежнего образа мысли, освоение совершенно иной методологии и техники интеллектуальной работы. Другими словами, радикальное переустройство самой «головы»,— и уже только потом «наполнения» ее чем-то новым. Новая истина — это еще и новый образ мышления. Уже хотя бы потому, что отныне она органической частью входит в единый инструментарий познания и из предмета становится средством получения новых знаний.

Говорят же, что теорию относительности поначалу понимали всего несколько человек в мире. Меж тем сегодня многие из ее положений из высшей школы переходят в программы средней.

Кстати о высшей школе. Уже на первых лекциях мы сталкиваемся именно с этим опровержением опровержений. Ведь едва ли не первое, что мы слышим с кафедры, гласит: «Забудьте все, о чем вас учили раньше». И только затем начинаем понимать, что дело вовсе не в ограниченности школьного образования, но в структуре самого знания. В том, что истина много богаче и много сложней тех одномерных поверхностных представлений о действительности, которые выносятся со школьной скамьи. Но ведь если мы углубимся в историю образования, то легко обнаружим, что простое и естественное для школьника когда-то составляло предмет едва ли не предельного напряжения духа цивилизации. Поэтому не случайно в средневековых университетах лишь студенты старших факультетов сидели на деревянных скамьях. Тем же, кто проходил подготовительный курс и еще только готовился к постижению истин, выходящих за пределы тривиального, надлежало располагаться на полу, на соломенной подстилке. И не только для того, чтобы внушить им смирение перед знанием и его носителями. Ставший своеобразным ритуалом, мудрый обычай позволял усвоить «дистанцию огромного размера», которая отделяет предмет высшей школы от обыденных представлений, и, разумеется, давал понять: его освоение — это прежде всего преодоление самого себя. А вот здесь требуется напряжение не одной только мысли, но и физических, и нравственных ресурсов каждого студента-схолара. В связи с этим правилами университетов часто запрещалось даже конспектировать лекции: книги были редки, стоили больших денег, и поэтому схолар должен был держать все усвоенное в своей собственной памяти, что, разумеется, требовало дополнительных интеллектуальных усилий. Словом, путь воспарения над обыденным знанием, нескончаемый путь опровержения опровержений начинался с (отнюдь не только символического) самоотрицания.

Крушение констант

В философии пройденный путь называется еще и восхождением от абстрактного к конкретному. Мы ищем истину, между тем истина,— гласит эта древняя наука,— всегда конкретна. И тот факт, что полученный результат это уже совсем не та пустота, с которой начинался наш путь, лишь подтверждает его право на существование.

Но продолжим анализ.

Мы увидели, что всякое «качество» обладает своим «количеством», и наоборот: любое «количество» применимо только к определенному кругу вещей, в результате чего «дваплюсдваравночетыре» имеет лишь ограниченную справедливость. Мы согласились и с тем, что каждое новое «количество», которое обнимает собой уже приведенный к какому-то единому основанию круг явлений, все-таки обязано подчиняться основополагающим законам математики. Но полной ясности все же не наступило,— и не только потому, что на все расчеты оказывает воздействие неуловимая «дельта качества». Дело в том, что базовые математические соотношения могут быть безупречными только в том случае, если одноименные доли любого «количества» будут равны друг другу. А вот всегда ли они равны, мы с уверенностью сказать не можем.

Обратимся к известному.

В 1720 году немецкий физик Габриель Д.Фаренгейт (1686-1736) предложил принять в качестве двух фиксированных точек температурной шкалы температуру человеческого тела и температуру замерзания какой-нибудь смеси. Несколько позднее, в 1742 году, теперь уже шведский астроном и физик Андерс Цельсий (1701-1744) предложил использовать для маркировки точки кипения и замерзания воды. Первой он приписал значения 0, второй — 100 градусов. Именно эта, только перевернутая, шкала теперь и принята повсеместно. Используются, правда и другие (того же Фаренгейта, Кельвина), но все они легко приводятся к шкале Цельсия.

Но вот вопрос: все ли градусы (или, вернее сказать, то, что стоит за ними) этих шкал в точности равны друг другу, равен ли градус, измеренный вблизи одной из критических точек, градусу, измеренному вблизи какой-то другой? Ведь если это не так, расчеты могут содержать в себе математическую ошибку.

Вопрос отнюдь не риторичен, он настоятельно требует точного и конкретного ответа. Ведь в действительности для измерения температуры во всем диапазоне ее известных сегодня значений подходящих средств до сих пор нет. Под подходящими средствами имеется в виду некий единый «термометр», одинаково пригодный для измерений во всем интервале, то есть и в области абсолютного нуля и в области «зазвездных» температур. На самом деле мы пользуемся целой системой измерительных инструментов, каждый из которых способен давать удовлетворительные (удовлетворительные?) результаты только для определенных долей «полного количества» этого феномена, иными словами, лишь в сравнительно узком диапазоне температур. Состыковать же результаты измерений, выполненных разными инструментами, так чтобы они ничем не противоречили друг другу, далеко не всегда удается. В особенности это касается тех случаев, когда сопоставлению подлежат значительно отстоящие друг от друга участки условно единой температурной шкалы.

В 1893 г. немецкий физик Вильгельм Вин (1864— 1928) обнаружил, что по спектру излучения физического тела можно определить его температуру. Изучением солнечного спектра удалось установить, что на поверхности Солнца она составляет 6000 градусов. Были установлены температуры поверхности и других звезд; у Сириуса, например, она равна 11000, а у Альфы Южного Креста, самой яркой звезды созвездия Южный Крест,— 21 000. Но уместен вопрос: в самом ли деле градус в пределах базиса шкалы Цельсия — это одно и то же, что градус на поверхности Солнца, Сириуса, Альфы Южного Креста и вообще в любой точке (хотя бы) Галактики? Можно ли утверждать, что 20 миллионов градусов (ориентировочная температура недр нашей звезды) — это ровно, т.е. с точностью до любого знака после запятой, в 200 тыс. раз больше температуры кипения воды, а так называемый абсолютный ноль — ровно на 273,16 меньше температуры ее замерзания?

Впрочем, строго говоря, нет уверенности и в том, что градус, измеренный вблизи точки замерзания воды, в точности равен градусу, измеренному вблизи точки ее кипения. Более того, остается сомнение не только в строгости измерений, но и в том, что мы сумели понять самое существо того таинственного начала, которое пытаемся измерять с помощью различных температурных шкал и условных «термометров»; подлинная природа феномена температуры еще и сегодня может хранить в себе немало загадок.

Но вспомним мысль Максвелла о том, что для построения всей системы единиц измерений достаточно двух величин – длины и времени. Поэтому обратимся к ним.

Почти до самого конца XIX века никому и в голову не могла прийти мысль о возможности деформации пространства, о замедлении времени, словом, обо всех тех чудесах, которые порождались необходимостью хоть как-то объяснить отрицательный результат уже упомянутых здесь опытов Альберта Абрахама Майкельсона (1852-1931), американского физика, автора остроумных экспериментов по определению скорости света. Эти эксперименты впервые были проведены им в 1881 г. и впоследствии в 1887 г. (совместно с Морли). Они были призваны найти абсолютную систему отсчета любого движения в мировом пространстве.^{^[109]} Однако обнаружилось, что таковой не существует, что можно было истолковать и в пользу вращения всей Вселенной, включая Солнечную систему, вокруг нашей собственной планеты.

Объясняющая гипотеза была выдвинута в 1892 г. ирландским физиком Джорджем Фицджеральдом (1851-1901), который показал, что отрицательные результаты опыта можно объяснить, если принять, что размеры тел, движущихся со скоростью v, сокращаются в направлении их движения в (1 — b)² раз, где b = v/c (с — здесь обозначает скорость света). Впоследствии (1904) Хендрик Антон Лоренц (1853—1928), известный голландский физик, лауреат Нобелевской премии за 1902 год, предложил ее теоретическое обоснование. Он исходил из того, что положения атомов и молекул в любой линейке определяются электростатическими силами; между тем кулоновские поля движущихся зарядов испытывают точно такое же сокращение, что и должно было объяснять сокращение, о котором говорил Фицджеральд.

Вглядимся в математический аппарат преобразований Лоренца-Фицжеральда, который в неизменном виде вошел в частную теорию относительности Эйнштейна. В этой теории единицы длины (l), времени (t) и массы (m) перестают быть тем, чем они были в рамках классической физики. Все эти начала оказываются самым тесным образом связанными со скоростью движения измеряемых объектов относительно измерителя (v) и деформируются в строгом соответствии с ее изменениями. Так,

l = l₀ Ö (1 — b²),

t = t₀ / Ö (1 — b²),

m = m₀ /Ö (1 — b²),

Легко видеть: чем выше скорость движения тела, тем меньше подкоренное выражение; с неограниченным же приближением к скорости света оно обращается в бесконечно малую величину. Меж тем деление любого числа на бесконечно малую делает его бесконечно большим. Деление же на ноль вообще теряет смысл, ибо то, что получается в результате, лежит за пределами разума (нам еще придется говорить о том, что может лежать за «краем света»; эта операция равносильна попытке заглянуть именно туда).

Некоторую трудность может вызвать вопрос о том, что именно является энергетическим «донором» ускорения. Понятно, что основных вариантов — два. В одном случае донором выступает потенциал внешнего объекта, в другом расходуются собственные резервы движущегося тела. (Впрочем, возможны и промежуточные решения, когда в придании ускорения участвуют оба.) Сообщение ускорения предполагает затрату определенного количества энергии. При этом мы можем конвертировать в энергию собственную массу системы. Простейший и самый наглядный пример — это бензин в баке автомобиля. Правда, к теории относительности это не имеет отношения, что же касается релятивистской физики, то ею не возбраняется и «конвертация» самого бензобака. Если донор внешний, в энергию со всем его содержимым обращается «бензобак» внешней массы, если внутренний — своей собственной. При этом общая энергетика единой системы «энергетический донор — движущееся тело» должна быть независимой от того, что является донором. Поэтому на сообщение заранее заданного ускорения должна конвертироваться одна и та же доля массы или расходоваться эквивалентная ей энергия, как в случае внешнего источника энергии, так и в случае расхода своего собственного потенциала.

Выразим энергетические соотношения с помощью простого графика, одной координатной осью которого является скорость (от нуля до скорости света), другой масса (от нуля до единицы). Таким образом, зависимость между достигаемой скоростью и расходуемой (конвертируемой) массой предстанет в виде кривой, исходящей из центра координат и оканчивающейся в точке, одна проекция которой на ось скоростей совпадает со скоростью света, другая, на ось масс, — с единицей.

Легко понять, что любая промежуточная проекция на каждую из координатных осей этого графика даст представление о второй величине. Иначе говоря, если мы заранее определим ту скорость, которую собираемся сообщить нашему объекту, то перпендикуляр, отброшенный на другую ось координат, покажет нам, какую долю начальной массы энергетического «донора» придется конвертировать в энергию для того, чтобы сообщить ему требуемое ускорение. И наоборот: если мы заранее определим ту долю начальной массы, которую готовы конвертировать в энергию, проекция на другую координатную ось покажет нам максимальную скорость, которую (на минуту забыв о неизбежных энергетических потерях) в принципе можно сообщить телу.

График будет одним и тем же как для внешнего источника энергии, так и для внутреннего. Разница лишь в следующем. В первом случае под единицей должна пониматься масса того внешнего объекта, которому отпускается роль энергетического «донора». Им может быть и вся Вселенная, и в этом случае речь пойдет о ее совокупной массе. Во втором — собственная масса того тела, которому и нужно сообщить ускорение.

В соответствии с известными положениями теории относительности сообщение максимальной скорости (с) может быть достигнуто в случае расходования собственного потенциала тела — за счет обращения в энергию всей его массы, в случае внешнего источника — за счет конвертирования всей массы Вселенной. Другими словами, скорость света может быть достигнута только тогда, когда в нуль обращается либо собственная масса тела, либо полная масса Вселенной. Ясно, что ни тот, ни другой вариант физически невозможны, как невозможен выход за пределы материи. Но как некий математический предел они вправе учитываться.

В любом случае предельная скорость, которую практически можно сообщить телу, будет далека от скорости света даже там, где его масса будет составлять бесконечно малую, но все же отличную от нуля величину. Поэтому здесь речь может идти лишь о всем спектре промежуточных значений между нулем и этой по сегодняшним понятиям предельной физической величиной. Но именно потому, что наш график описывается математической кривой, мы обязаны заключить: полное равенство одноименных отрезков каждой из осевых шкал не достигается ни в одном — даже сколь угодно узком — интервале значений. В том же случае, когда сопоставляются отрезки, тяготеющие к противоположным полюсам координатных осей, они могут отличаться друг от друга на много порядков.

Здесь-то со всей наглядностью и обнаруживается существо нашего вопроса: «с какого края?» Анализируя получаемые кривые, мы обязаны сделать вывод: «два плюс два» может только неограниченно стремиться к «четырем», да и то лишь в том случае, когда суммируются смежные отрезки измерительных шкал, расположенные у самого начала отсчета. При этом смежные отрезки, в свою очередь, должны неограниченно стремиться к нулю. Полный спектр результатов измерения длины будет простираться от «четырех» до нуля. Все то же, исчисленное для времени, даст результат, простирающийся от «четырех» до бесконечности. Иными словами, с абсолютной точностью измеренный итог (в пределах всего диапазона значений скорости) составит сколько угодно, только не «четыре»!

Это означало крах всех традиционных представлений. Ученый мир был готов к чему угодно, но два плюс два были обязаны равнять четырем при любых обстоятельствах, как при любых обстоятельствах килограмм, метр, секунда были обязаны равняться самим себе. Меж тем менялись и они, так что же оставалось делать с теми единицами измерения, которые определялись лишь с их помощью. В общем, необходимо было пересматривать первоосновы…