Эту систему можно записать в матричном виде с помощью матричного уравнения

AX = B, (5)

где А - основная матрица системы, Х - матрица-столбец неизвестных,

В - матрица-столбец свободных членов

, , .

Решением матричного уравнения будет матрица Х, которую находят путем умножения обратной матрицы А^-1 на матрицу В – столбец свободных членов

Х = А^-1 В. (6)

Пример 2. Решить матричным методом систему уравнений

Решение. Составим основную матрицу системы А, матрицу – столбец свободных членов В, матрицу – столбец неизвестных Х

, , .

Найдем обратную матрицу А^-1. Для этого вычислим определитель матрицы системы

Определитель отличен от нуля, следовательно, систему уравнений можно решать матричным способом.

Далее найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы по формуле

где М_ij – это определитель, полученный из определителя матрицы системы, путем вычеркивания строки с номером i, столбика с номером j.

Обратную матрицу вычислим по формуле

Получим обратную матрицу .

Далее воспользуемся формулой (6) для определения неизвестных x,y,z.

= , то есть, получено решение системы:

x = 2, y = 0, z = -1.

Правильность полученного результата устанавливаем с помощью проверки, подставляя найденные значения переменных х, y, z

в каждое уравнение системы

Ответ. (2, 0, 1).

Метод Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является методГаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему (1)

Процесс решения такой системы методом Гаусса состоит из трех этапов.

На первом этапе с помощью элементарных преобразований получают систему уравнений, эквивалентную системе (1). Другими словами систему (1) сводят к ступенчатому виду

(7)

где - коэффициенты при неизвестных и свободные члены, полученные в результате элементарных преобразований.

На втором этапе исследуют систему линейных алгебраических уравнений, то есть определяют количество ее решений по теореме

Кронекера - Капелли.

Теорема 1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы

Правила практического поиска всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение

Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений

На третьем этапе последовательно находят все решения, начиная поиск неизвестных членов х_i c последнего уравнения эквивалентной системы (7) .

Пример 3. Решить систему методом Гаусса:

Решение. Переход к эквивалентной системе проведем с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы заданной системы уравнений (получим нули под главной диагональю):

~ ~ ~ ~ .

⇐ Назад