Приближенное решение дифференциальных уравнений

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 25

По дисциплине: МАТЕМАТИКА

Наименование работы: РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ФОРМУЛ ЭЙЛЕРА.

 

 

Для специальностей 210705, 210709, 210723.

 

Составлена преподавателем Калмыковой О. И.

 

г. Смоленск

2011 г.

Практическая работа № 25.

для студентов 2 курса.

 

Вариант 1. Методом Эйлера постройте таблицу значений для заданного дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=1. В таблице укажите значение решения на отрезке [0, 1] с шагом 0,1. По таблице постройте график решения. .	Вариант 2. Методом Эйлера постройте таблицу значений для заданного дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=1. В таблице укажите значение решения на отрезке [0, 1] с шагом 0,1. По таблице постройте график решения. .
Вариант 3. Методом Эйлера постройте таблицу значений для заданного дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=1. В таблице укажите значение решения на отрезке [0, 1] с шагом 0,1. По таблице постройте график решения. .	Вариант 4. Методом Эйлера постройте таблицу значений для заданного дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=1. В таблице укажите значение решения на отрезке [0, 1] с шагом 0,1. По таблице постройте график решения. .
Вариант 5. Методом Эйлера постройте таблицу значений для заданного дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=1. В таблице укажите значение решения на отрезке [0, 1] с шагом 0,1. По таблице постройте график решения. .	Вариант 6. Методом Эйлера постройте таблицу значений для заданного дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=1. В таблице укажите значение решения на отрезке [0, 1] с шагом 0,1. По таблице постройте график решения.
Вариант 7. Методом Эйлера постройте таблицу значений для заданного дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=1. В таблице укажите значение решения на отрезке [0, 1] с шагом 0,1. По таблице постройте график решения.	Вариант 8. Методом Эйлера постройте таблицу значений для заданного дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=1. В таблице укажите значение решения на отрезке [0, 1] с шагом 0,1. По таблице постройте график решения.

 

6. Порядок выполнения работы:

1.Требование к ТБ;

2. Ответьте на вопросы допуска к работе;

3. Выполните задание, соответствующее варианту.

4. Оформите отчёт;

5. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:

1. Наименование и цель работы;

2. Результаты выполнения работы;

3. Анализ результатов и выводы.

4. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы.

1. Понятие дифференциального уравнения.

2. Алгоритм решения дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера.

Методические указания.

Приближенное решение дифференциальных уравнений

Рассмотрим приближенное решение задачи Коши:

(1)

на отрезке , полученное при помощи метода Эйлера. Для этого разобьем отрезок точками на равных частей. Пусть – длина каждого из полученных отрезков, тогда , . Приближенно найдем значения функции в узловых точках, .

Метод Эйлера основан на том, что из определения производной следует приближенное равенство: , следовательно, дифференциальное уравнение можно заменить разностным уравнением: , которое иначе записывается в виде

,

,

, . (2)

Применяя формулу (2), можно вычислить сначала по известным значениям и , затем вычислить и т.д.

С геометрической точки зрения, при вычислении по формуле (2) на каждом элементарном участке график решения заменяется отрезком прямой с угловым коэффициентом . В результате получается ломаная, которая называется ломаной Эйлера.

Пример. Методом Эйлера для уравнения найти , если ; выбрать . Для расчетов по формуле (2) составим таблицу.

	0,1	1+0=1	0,020
	0,2	1+0,020=1,020	0,041
	0,3	1,020+0,041=1,061	0,064
	0,4	1,061+0,064=1,125	0,090
	0,5	1,125+0,090=1,215	0,121
	0,6	1,215+0,121=1,336	0,160
	0,7	1,336+0,160=1,496	0,209
	0,8	1,496+0,209=1,705	0,273
	0,9	1,705+0,273=1,978	0,357
	1,0	1,978+0,357=2,335

 

Итак, . Найдем точное решение задачи и сравним полученные результаты:

решение задачи – функция , получаем . Как видим, погрешность вычисления 2,718–2,335=0,383 довольно велика, но уменьшение величины позволяет добиться лучших результатов.

Для сравнения изобразим интегральную кривую и ломаные Эйлера для и (для наглядности выбраны разные масштабы по координатным осям).