Примеры решения типовых задач по разделу

следовательно, обратная матрица существует. Для матрицы третьего порядка формула вычисления обратной матрицы принимает вид:

.

Найдем алгебраические дополнения матрицы :

,

, ,

Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и определителя матрицы в формулу, получаем

.

Сделаем проверку:

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Задача 3.Решить матричное уравнение.

.

Решение. Введем следующие обозначения: Если матрица имеет обратную , то решение уравнения находится в виде .

Вычислим определитель матрицы: следовательно, обратная матрица существует и находится по формуле Найдем алгебраические дополнения :

Следовательно,

Таким образом, решение матричного уравнения

Замечание. Если матричное уравнение имеет вид , то его решением служит матрица .

Задача 4.Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Решение. Выберем минор второго порядка . Существует только один минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор . Вычислим его.

Значит, минор базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е.

Задача 5.Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований

Решение. Поменяем местами первую и вторую строку. В результате получим матрицу, эквивалентную данной.

На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2 , к третьей строке прибавим первую , а из четвертой вычтем первую, умноженную на 3 Получаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим ее той же буквой :

.

Далее, вычтем из четвертой строки вторую. При этом имеем:

.

Получена матрица треугольного (ступенчатого) вида, и можно сделать вывод, что , т. е. числу ненулевых ее строк.

Задача 6. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Воспользуемся методом Крамера. Вычислим определитель матрицы системы:

Значит, система имеет единственное решение. Найдем определители

Определитель получается из определителя заменой 1-го столбца столбцом свободных членов.

Определитель получается из определителя заменой 2-го столбца столбцом свободных членов.

Заменим в определителе 3-ий столбец столбцом свободных членов и вычислим

Решение системы находим по формулам:

Ответ. (2; 1;1).

Задача 7.Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность:

Решение. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы:

Для того чтобы в первом столбце матрицы получить нули, выполним следующие преобразования: из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а от третьей вычтем первую. Получим матрицу, равносильную данной:

Чтобы получить матрицу треугольного вида, необходимо вычесть из третьей строки вторую. Окончательно получаем:

Ранг расширенной матрицы системы равен 3, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. , следовательно, система несовместна.

Задача 7.1.Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав ее на совместность:

Решение. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы:

Будем приводить матрицу к треугольному виду, для этого выполним следующие преобразования: первая строка будет ведущей, а от второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а из третьей вычтем первую, умноженную на 3. Получим равносильную систему:

Умножим вторую строку на , третью на При этом получим матрицу

Вычтем из третьей строки вторую и получим матрицу ступенчатого вида.

Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, т.е. , следовательно, система совместна. Сравним ранг матрицы с числом неизвестных системы: . Согласно теореме о числе решений система имеет бесконечное множество решений. Найдем их.

Из последней строки матрицы треугольного вида имеем , третьей строке соответствует уравнение . Зная , получаем Первой строке матрицы соответствует уравнение: Подставляя в это уравнение , получим уравнение Пусть , тогда .

Ответ: , где произвольная постоянная.

Аналитическая геометрия

Задача 1.

1. Найти периметр треугольника АВС, если

А(1;3;6), В(2;2;1), С(-1;0;1).

2. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А(-4;2;6), В(2;-6;0), С(-10;4;8).

3. Пусть АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.

Найти периметр треугольника КМN, если

А(7;2;4), В(7;-4;-2), С(3;2;4).

4. Найти периметр ромба со стороной АВ, если А(-4;6;-3), В(-5;2;-4).

5. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если

А(-4;2;1), В(3;6;-5).

6. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А(2;1;4), В(-1;5;-2).

7. Найти длины всех средних линий треугольника АВС, если

А(-1;5;-2), В(-7;-3;2), С(-5;-3;6).

8. Найти периметр четырёхугольника АВСD, если

А(-1;-5;2), В(-6;0;-3), С(3;6;-3), D(-10;6;7).

9. Найти площадь круга с радиусом АВ и длину его границы, если

А(0;-1;-1), В(-2;3;5).

10. Найти объём и площадь поверхности шара с радиусом АВ, если

А(5;2;0), В(2;5;0).

11. Найти периметр треугольника АВС, если

А(1;2;4), В(-1;1;1), С(2;5;0).

12. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А(3;-4;-3), В(1;2;1), С(5;0;-7).

13. АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.

Найти периметр треугольника КМN, если

А(-10;9;-7), В(-2;1;-3), С(-6;7;1).

14. Найти периметр ромба со стороной АВ, если

А(4;-8;-4), В(1;-4;6).

15. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если

А(14;4;5), В(-5;-3;2).

16. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А(-2;-6;-3), В(-2;2;-1).

17. Найти длины всех средних линий треугольника АВС, если

А(1;2;0), В(3;0;-2), С(5;2;6).

18. Найти периметр четырёхугольника АВСD, если

А(8;4;-9), В(2;-1;2), С(1;2;-1), D(3;2;1).

19. Найти площадь круга с радиусом АВ и длину его границы, если

А(-4;2;5), В(1;1;2).

20. Найти объём и площадь поверхности шара с радиусом АВ, если

А(-1;1;3), В(2;-2;4).

21. Найти периметр треугольника АВС, если

А(-1;0;-2), В(2;3;1), С(4;1;-2).

22. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А(3;3;7), В(7;5;-3), С(1;1;-1).

23. Пусть АК, ВМ и СN – медианы треугольника АВС.

Найти периметр треугольника КМN, если

А(1;3;1), В(3;5;1), С(5;9;-7).

24. Найти периметр ромба со стороной АВ, если

А(1;5;-7), В(-3;6;3).

25. Найти периметр и площадь квадрата со стороной АВ, если

А(-2;7;3), В(-3;4;-7).

26. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А(1;5;-4), В(-5;-2;0).

27. Найти периметр треугольника АВС, если

А(-2;1;-5), В(0;4;1), С(-2;1;2).

28. Найти длины всех медиан треугольника АВС, если

А(1;3;5), В(1;2;-3), С(7;1;-1).

29. Найти периметр ромба со стороной АВ, если

А(-1;2;-6), В(-4;5;-5).

30. Найти объём и площадь полной поверхности куба с ребром АВ,

если А(2;3;-4), В(-2;-3;1).

Задача 2.Коллинеарны ли векторы и ?

1. , , если , .

2. , , если , .

3. , , если , .

4. , , если , .

5. , , если , .

6. , , если , .

7. , , если , .

8. , , если , .

9. , , если , .

10. , , если , .

11. , , если , .

12. , , если , .

13. , , если , .

14. , , если , .

15. , , если , .

16. , , если , .

17. , , если , .

18. , , если , .

19. , , если , .

20. , , если , .

21. , , если , .

22. , , если , .

23. , , если , .

24. , , если , .

25. , , если , .

26. , , если , .

27. , , если , .

28. , , если , .

29. , , если , .

30. , , если , .

Задача 3.Найти скалярное произведение векторов:

1. , если , .

2. , если , .

3. , если , .

4. , если , .

5. , если , .

6. , если , .

7. , если , .

8. , если , .

9. , если , .

10. , если , .

11. , если , .

12. , если , .

13. , если , .

14. , если , .

15. , если , .

16. , если , .

17. , если , .

18. , если , .

19. , если , .

20. , если , .

21. , если , .

22. , если , .

23. , если , .

24. , если , .

25. , если , .

26. , если , .

27. , если , .

28. , если , .

29. , если , .

30. , если , .

Задача 4.Найти косинус угла между векторами и

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. ,