Правила перевода правильных дробей 4 страница
Пример 2.Приведем запись некоторых десятичных чисел в различных нетрадиционных позиционных системах счисления.
| Десятичная система счисления | Факториальная система счисления | Фибоначчиева система счисления | Уравновешенная троичная система счисления |
Мы видим, что для описания системы счисления используются понятия «базис», «алфавит», «основание».
Для однозначного определения позиционной системы счисления, у которой в качестве цифр используются натуральные числа и 0, необходимо и достаточно указать только ее базис: последовательность чисел ..., qо, qv ..., qп, .... Все остальные компоненты системы являются производными от базиса.
Последовательность чисел может являться базисом позиционной системы счисления только тогда, когда в соответствующей этому базису системе может быть представлено любое число (если система предназначена только для нумерации целых чисел, то любое целое число).
В качестве цифр систем счисления могут быть использованы любые символы, это наглядно демонстрируют нам ученые, занимающиеся историей математики: вавилоняне использовали клиновидные цифры (у них не было бумаги, и «писали» они на мягких глиняных дощечках); китайцы использовали иероглифы; мы используем арабские цифры. Однако в математике придерживаются следующих договоренностей в отношении вида используемых цифр.
Если основание системы счисления Р меньше 10, то для символьного представления цифр в ней, как правило, используются первые Р десятичных цифр (от 0 до Р - 1). Например, в пятеричной системе счисления будут использоваться пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4.
Для 10 < Р < 37 в качестве первых десяти цифр также обычно используют их десятичное представление, а для остальных цифр — буквы латинского алфавита.
Для систем счисления с основаниями, большими 36, единых правил для формы записи цифр не существует.
Для двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления приведем обозначения цифр:
| q = 10 : | ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | |
| q = 8 : | ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; | |
| q = 2 : | ai = 0, 1; | |
| q = 16 : | ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, | A, , C, D, E, F; |
| Десятичное значение: | 10, 11, 12, 13, 14, 15 |
Любое десятичное число можно представить в любой позиционной системе счисления, а для целых чисел в большинстве систем это можно сделать единственным способом.
Пусть q — произвольное натуральное число, большее единицы. Существует и единственно представление любого натурального числа A в виде степенного ряда:
Aq = an-1 · qn-1 + . . . + a1 · q1 + a0 · q0 + a-1 · q-1 + a-2 · q-2 + . . . + a-m · q-m
Пользуясь формулой для числа, записанного в системе с основанием, не равным 10, можно найти его десятичный эквивалент. При этом учитываем, что 1 и 0 - цифры, имеющие одинаковый смысл в любой системе счисления.
Пример 1.
A8 = 132; A10 = ?;
A10 = 1328 = (1 · 82 + 3 · 81 + 2 · 80)10 = (64 + 24 + 2)10 = 9010.
Пример 2.
A2 = 100110; A10 = ?;
A10 = 1001102 = (1 · 25 + 1 · 22 + 1 · 21)10 = (32 + 4 + 2)10 = 3810.
Пример 3.
A16 = A9; A10 = ?;
A10 = A916 = (10 · 161 + 9 · 160)10 = (160 + 9)10 = 16910.
Пример 4.
A8 = 0,24; A10 = ?;
A10 = 0,248 = (2 · 8-1 + 4 · 8-2)10 = 0,312510.
Пример 5.
A2 = 0,101; A10 = ?;
A10 = 0,1012 = (1 · 2-1 + 1 · 2-3)10 = 0,62510.
Пример 6.
A16 = 0,C; A10 = ?;
A10 = 0,C16 = (12 · 16-1) 10 = 0,7510.
| «V» | «+» | «-» | «?» |
Обсудите заполненную таблицу с другими студентами группы. Внесите в нее необходимые исправления и дополнения.
|
| Решите следующие задачи: 1.Какое множество понятий однозначно определяет позиционную систему счисления: 1) {базис, алфавит, основание}; 2) {базис, алфавит}; 3) {базис}? 2. Какая последовательность чисел может быть использована в качестве базиса позиционной системы счисления? 3. Какие символы могут быть использованы в качестве цифр системы счисления? 4. В примере 2 были приведены представления чисел 10, 25 и 100 в системах счисления, отличных от десятичной. Можно ли эти числа записать в указанных системах еще и другим способом или это представление единственно? 5. Запишите десятичные представления чисел: 1. 1011001112; 2. 1AC9F16; 3. 17458; 4. 11001,0112; 5. ED4A,C116$ 6. 147,258. |
Тема 3.2 Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Основные понятия: позиционные системы счисления, основание системы счисления, метод триад, метод тетрад.
Условные обозначения:
 - задания до чтения текста
|  - задания во время чтения
| - задания после чтения
|
|
| В теме 3.2 был предложен способ перевода из какой-либо (q-ичной) системы счисления в десятичную. Сформулируйте правило перевода чисел, записанных в системах счисления с основанием q>1, в десятичную систему счисления. Запишите это правило. Приведите примеры. |
|
| Прочитайте текст. Во время чтения делайте пометки на полях: «+» - надо запомнить; «-» - думал иначе, «?» - не понял, есть вопросы. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Правила перевода целых чисел
Результатом является целое число.
1. Из десятичной системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную:
а. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2, 8 или 16); получается частное и остаток;
б. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
в. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
г. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.
Пример 1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:
Пример 2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:
Пример 3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:
2. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
а. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;
б. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.
Таблица
Пример 4. Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления.
В соответствии с таблицей 00112 = 112 = 316 и 00012 = 12 = 116. Тогда 100112 = 1316. 3. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную: а. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады; б. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются. Пример 5. Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления. Правила перевода правильных дробей
Результатом является правильная дробь. 1. Из десятичной системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную: а. исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); б. в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается - она является старшей цифрой получаемой дроби; в. оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б). г. процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате; д. формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства. Пример 6. Выполнить перевод числа 0,847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой. Имеем:
В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр. Пример 7. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.
В данном примере также процедура перевода прервана. Таким образом, 0,847 = 0,D8D2. 2. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную: а. исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4; б. каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей. Пример 8. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную число 0,11012. В соответствии с таблицей 11012 = D16. Тогда имеем 0,11012 = 0,D16. Пример 9. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную число 0,00101012. Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль: 0,00101012 = 0,001010102. В соответствии с таблицей 00102 = 216 и 10102 = A16. Тогда имеем 0,00101012 = 0,2A16. 3.Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную: а. каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей; б. незначащие нули отбрасываются. Пример 10. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А16. По таблице имеем 216 = 00102 и А16 = 10102. Тогда 0,2А16 = 0,001010102. Правило перевода чисел, содержащих целую и дробную части. Отдельно переводится целая часть числа, отдельно - дробная. Результаты складываются. Пример 11. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой. Таким образом, 19,847 = 13,D8D16. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 1. Заполните таблицу:
Обсудите заполненную таблицу с другими студентами группы. Внесите в нее необходимые исправления и дополнения. 2. Заполните пустую строку таблицы:
3. Покажите на примерах перевод целых чисел, правильных дробей и чисел, содержащих целую и дробную части, из десятичной системы счисления в восьмеричную, из двоичной системы в восьмеричную. Сформулируйте и запишите правила таких переводов. 4. Подумайте, какими способами можно перевести число из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную, из шестнадцатеричной в восьмеричную. Покажите их на примерах. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| Ответьте на вопросы и решите следующие задачи:
1. Определите, какому правилу перевода чисел относятся следующие схемы
2. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
3. Переведите число 37,2510 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы. 4. Переведите число 1001111110111,01112 из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы. 5. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: а) 2СE16; б) 1ABC,9D16. |
Тема 3.3 Системы счисления. Действия с числами, записанными в различных системах счисления.
Основные понятия: позиционные системы счисления, арифметические операции над двоичными, восьмеричными и шестнадцатеричными числами.
Условные обозначения:
| - задания до чтения текста
| - задания во время чтения
| - задания после чтения
|
|
| Вспомните правила выполнения арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) десятичных чисел. Попробуйте их сформулировать. Продемонстрируйте их на примерах. |