Тема 4.3 Представление вещественных чисел в компьютере

Основные понятия: вещественные числа, мантисса, порядок, нормализованное представление вещественных чисел.

Условные обозначения:

- задания до чтения текста - задания во время чтения - задания после чтения

 

Прочитайте текст. Во время чтения делайте пометки на полях, выделяя новые понятия и термины.

Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.

Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть, как очень маленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1,25 можно в этой форме представить так:

1,25•100 = 0,125•101 = 0,0125•102 = ... ,

или так:

12,5•10–1 = 125,0•10–2 = 1250,0•10–3 = ... .

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде
N = M • qp, где M называется мантиссой числа, а p — порядком.

Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой.

Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:

Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: M из [0.1, 1).

Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе.

Примеры нормализованного представления:

Десятичная система Двоичная система

753,15 = 0,75315•103; -101,01 = -0,10101•211 (порядок 112 = 310)

-0,000034 = -0,34•10-4; -0,000011 = 0,11•2-100 (порядок -1002 = -410)

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи — с использованием четырех, шести, восьми или десяти байтов.

В качестве примера приведем характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами:

Форматы вещественных чисел Размер в байтах Примерный диапазон абсолютных значений Количество значащих десятичных цифр
Одинарный 10–45 … 1038 7 или 8
Вещественный 10–39 … 1038 11 или 12
Двойной 10–324 … 10308 15 или 16
Расширенный 10–4932 … 104932 19 или 20

Из этой таблицы видно, что форма представления чисел с плавающей точкой позволяет записывать числа с высокой точностью и из весьма широкого диапазона.

При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.

Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате. Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.

Пример 1. Число 6,2510 = 110,012 = 0,11001•211 :

Пример 2. Число –0,12510 = –0,0012 = –0,1•2–10 (отрицательный порядок записан в дополнительном коде):

 

  1. Составьте глоссарий (словарь) новых терминов.
  2. Сформулируйте и запишите правило представления вещественных чисел в нормализованном виде.

 

Запишите числа в нормализованном виде: а) 35,124610; б) – 0,00901210; в) 1001, 0112; г) – 0, 00010112.