Основные точки зрения на революцию в математике
Теоретико-познавательная функция по отношению ко всем частным наукам. Теория познания является одной из относительно самостоятельных дисциплин, в которой изучаются формы и методы научного познания, структура и уровни его, критерий истины.
4. Логическая функция (в целом), материалистическая диалектика в особенности, выполняет по отношению ко всем остальным наукам. Ни один специалист не может успешно вести исследования, обобщать и объяснять полученные результаты, не используя философских понятий и представлений.
Сравнивая М и Ф, необходимо четко определить предмет математического знания.
М — опр:Ф.Энгельс: М — наука, занимающаяся изучением пространственных форм и количественных отношений реальной действительности. Современные мат. теории непосредственно имеют дело уже с так называемыми абстрактными структурами => современная математика чаще всего определяется как наука о чистых, абстрактных структурах.
Обычно предмет науки отличают от ее объекта. М не изучает законов развития природной или социальной среды, их изучают обычные науки. В самом деле, всеобщие законы окружающей нас действительности изучает философия, а частные – остальные (частные) науки.
М не является частной наукой; она есть особый способ теоретического описания действительности. В этом отношении она больше, чем обычная наука, ибо в принципе она может описывать любое явление окружающего нас мира и представляет собой целую совокупность дисциплин. (Философия – тоже нечто большее, чем наука, но в ином смысле: она является и наукой, и особой формой общественного сознания, содержащей в себе элементы идеологического характера). Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должнаиспользоватьсяво всех отраслях науки.
Своеобразие критерия истины в математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого критерия выступает теория арифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждого математика (и как следствие - требование точности и непротиворечивости). Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметь ввиду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться все выдвигаемые гипотезы. Т.о. М – своеобразный способ теоретического описания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системе наук. Предметомматематического описания может стать любой процесс действительности, а объектамиэтой области знания являются пространственные формы и количественные отношенияреальной действительности, в общем случае – абстрактные «математические» структуры.
Проблема непрерывности и полноты.
Брауэр: классическая математика противоречива, т.к. опирается на теорию множеств, содержащую парадоксы. Новая (интуиционистская) математика рассматривает мир мысленных процессов, развертывающихся в последовательность элементарных актов (шагов). Результаты этих процессов - математические объекты и конструкции.
Гильберт: классическая математика непротиворечива, ее теории полны, т.к. а) ее конструкции продуманы и признаны математическим сообществом, б) она прекрасно работает в практике. Бессмысленна замена классической математики на интуиционистскую, т.к. последняя неполна, это обрезанная (секвестированная) математика.
Проблема обоснования.
Брауэр: только такая математика обоснована, которая соответствует критериям интуиционизма как конструктивному обобщению человеческого опыта. Аксиоматический метод и формализация не выражают сущности математического мышления, т.к. скрывают за языковой формой эту сущность. Убедительное обоснование математики дает лишь интуиция как непосредственное внутреннее безъязыковое переживание образов, идущих из глубины "я". Лишь по требованию социума ученый вынужден облекать эти образы в языковую форму и тем искажать их (в точности, как у Ф.И.Тютчева: "мысль изреченная есть ложь"). У Гильберта же математика вырождается в игру формулами.
Гильберт: классическая математика обосновывается коллективным опытом научного сообщества. Окончательное обоснование даст теория доказательств. Она является "протоколом о правилах мышления". Ее существенной частью являются формализм и аксиоматический метод. Задача науки - освобождение от субъективизма, который достиг своего наивысшего выражения в интуиционизме.
Проблема существования математического объекта.
Брауэр: математический объект существует, если он построен явно или его построение возможно с помощью алгоритма. Теоремы о существовании без построения не имеют никакого значения.
Гильберт: объект существует, если он непротиворечив. Доказательсва существования сокращают и экономят мысль. Они всегда были вехами математического прогресса.
Проблема природы мышления.
Брауэр: математическое мышление опирается на интуицию (прежде всего интуицию времени, интуицию раздвоения единого). Существуют исходные принципы мышления, но они лишь результат свободного творения математика-индивида. Изначально математическое исследование не зависит ни от языка, ни от логики. Главный метод мышления - интроспекция. Обыденное знание выше формального. Существуют неразрешимые проблемы.
Гильберт: математическое мышление основано на интеллектуальной ясности. До математики мы имеем опытные представления, конкретные объекты. Математика начинается со знаков, обозначающих эти объекты, и с логики, дающей надежные выводы. Математика интерсубъектна (является результатом коллективного творчества) и, вообще говоря, объективна (в платонистском смысле). Формальное знание выше обыденного. Мир познаваем, все математические проблемы в принципе разрешимы.
Проблема реальности и единства мира.
Брауэр: реальность - это сознание индивида, это образы, мыслеформы, восходящие от внутренней сферы к внешнему миру. Это субъективная реальность. Существует ли объективная реальность, единая для всех индивидов, - открытый вопрос.
Гильберт: существует объективная реальность, данная нам наглядно, в качестве чувственных переживаний до какого то ни было мышления. Единство мира проявляется в математике как универсальном языке, раскрывающем сущность мира.
Как мы знаем, в споре не оказалось победителя. Интуиционистская и теоретико-множественная математики дополняют друг друга.
Гильберт и Брауэр работали в различных областях. Гильберт ясен, последователен, логичен. Более склонен к формальному мышлению, что особенно видно на теории доказательств. Он платонист и кантианец. Его стиль можно назвать формально-платонистским. Это господствующий стиль, т.к. абсолютное большинство математиков - платонисты.
Брауэр же пытался оторваться от платонизма, порвать с античной традицией математиков оперировать идеальными объектами подобно материальным предметам. Отсюда впечатление противоречивости. Хотя с точки зрения классически мыслящего ученого он действительно противоречив: работал и теоретико-множественными методами (в топологии), и интуиционистскими, создавая принципиально новую неплатонистскую математику.
Определенными сдвигами в неплатонистском направлении стали также конструктивизм, теория категорий, некоторые теории в логике. Действительно, если радикализировать позицию Брауэра, высказать её ещё яснее убрать из его философско-математических высказываний натуральные числа, то останется только алгоритм. Тогда не важно ЧТО преобразуется, а важно КАК (само преобразование). По идейному подходу это близко к теории алгорифмов, -исчислению А.Черча, теории категорий. В одном из направлений конструктивизма - теории алгорифмов А.А.Маркова (мл.) главное - само преобразование, но алгорифм понимается платонистски. Однако уже -исчисление, метафорически выражаясь, логика без переменных. Теорию категорий Ю.И.Манин назвал социологическим подходом [7], т.е. это как бы структуры без элементов, на что первым обратил внимание Ф.У.Ловер.
2. Проблема обосновании математики.
Обоснование: нахождение 1ых понятий и правил, из которых следуют все остальные тезисы мат науки.
1. можно рассм только с точки зрения матем.
2. Но сущ и философский аспект: почему именно такое положение? Как оно обосновано? Что он есть? и т.д.
Обоснов М несет Ф и М проблемы. Логицизм, формализм и т.д. - здесь мы рассм Ф и М сторону.
Неясности:
1) “обоснование”=(принято)=“основа”.
2) “обоснование М” звучит неестественно. М всегда считалась эталоном надежности и достоверности человеческого познания. Мат знаний неизменно подтверждалось на практике, в процессе применения тех или иных мат методов, демонстрируя их эффективность. Однако философия науки всегда разделяла практическую эффективность и теоретическую обоснованность. В результате получалось, что проблема обоснования математики не получала определенного смысла.
3) понятие обоснования ~ понятие доказательства — не способствовало выработке самостоятельного концептуального осмысления проблемы обоснования математики.
4) обоснование М мыслилось как обоснование какого–либо фрагмента математического знания (теории, например) имеющимися в математике средствами.
Будем исходить из того, что предметом обоснования выступает математика как целостная наука. Ясно, что подтвердить науку в прямом смысле слова невозможно. Речь может идти лишь о подтверждении некоторого гносеологического образа науки, в котором отражены ее специфические черты и качественное своеобразие в системе научного знания. При этом сам образ всегда ориентирован на определенный идеал познания.
М: отличительные признаки: строгость, достоверность. Однажды доказанный результат мог быть обобщен, усовершенствован, даже частично пересмотрен, но никогда не отбрасывался как ложный. Собственно обосновательной деятельностью в этом плане считалась любая деятельность, направленная на объяснение причин или оснований упомянутых свойств математического познания. Среди различных объяснений такого рода - ссылка на дедуктивный характер математических истин.
*Витгенштейн: доказательства непротиворечивости являются бессмысленными, поскольку не дают никакой гарантии против противоречий, возникновение которых связано с применением теоретических средств, а вовсе не со структурой или строением теории. В силу того, что избежать нежелательного употребления теоретических средств в принципе невозможно, любые основания математики будут ненадежными.
*Современное состояние Е.Беляев и В.Перминов:
“Общей концепции обоснования математики пока не существует”. Ряд положений:
“1. Основное требование к М и цель ее обоснования — ее непротиворечивость. Обоснование М состоит в устранении существующих противоречий и в выработке средств анализа, предупреждающих появление таких противоречий в будущем.
2. Единая программа обоснования математики типа гильбертовской или расселовской в настоящее время уже невозможна.
3. Невозможна единая теор база обоснования М, т.е. невозможно обосновать М сведением всех ее положений к 1му ее разделу. Ни логика, ни арифметика не могут выступать в качестве такой последней основы.
4. Обоснование математики не временный, но постоянный процесс, необходимая сторона развития мат знания в целом.
Проблема обоснования математического знания сводится к решению двух вопросов, а именно к обоснованию строгости (законченности) математических доказательств и к обоснованию непротиворечивости математических теорий, составляющих фундамент математической науки, прежде всего таких теорий, как арифметика и теория множеств.
Являются ли математические доказательства строгими? нет, если мы имеем в виду теории на стадии их становления, т.е. на стадии формирования понятий и логики рассуждения.
рассуждение, доказывающее строгость какого-либо доказательства, само должно быть обосновано в своей строгости и т.д.
Это значит, что мы должны получить заключение о строгости доказательства не на основе математического доказательства, а из некоторых содержательных соображений, обладающих полной надежностью.
Но могут ли существовать содержательные и одновременно безусловно строгие рассуждения?
Многие настаивают на принципиальной нестрогости любого математического доказательства.
И. Лакатос :идеально строгих доказательств не существует. (эмпирического взгляда)
Никакое понятие, по его мнению, не свободно от интуиции опыта, которые несовершенны и могут проявить себя в виде скрытых лемм или парадоксов на некотором этапе развития математической теории.
априористская теория познания: Исходные понятия математики, данные в аподиктической очевидности, не могут содержать дефектов, и математическое доказательство, сведенное к системе аподиктически очевидных шагов, должно быть признано в качестве абсолютно надежного.
проблема строгости математических доказательств сводится, таким образом, к необходимости выбора между эмпиризмом и априоризмом.
непротиворечивости. Эта проблема была поставлена под влиянием парадоксов, обнаружившихся в теории множеств и математической логике в начале XX в. Необходимо было:
*найти общие причины этого явления и указать минимальные ограничения для устранения парадоксов.
*сформулировать общие требования к математической теории, гарантирующие ее непротиворечивость.
Б. Рассел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы.
Метод, предложенный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области определения логических функций.
А как в будущем? М?
В начале XX в. были намечены три программы обоснования математики: логицизм, интуиционизм и формализм.
1. логицизма Г. Фреге. до появления парадоксов.
Задача: - свести понятия математики к понятиям логики и представить принципы математических теорий в качестве общезначимых логических истин.
Решение: А. Уайтхед и Б. Рассел: при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности редукция математической теории к логике может рассматриваться как строгое доказательство ее абсолютной непротиворечивости, гарантированности ее от противоречий любого вида.
Но: К. Гедель доказал почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории.
=( элементарные логические исчисления в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий как систем, не обладающих свойством полноты.
=( исследования Гёделя показали бесперспективность логицизма как программы обоснования математики.
2. Программа интуиционизма, Л. Брауэр,
Задача: редукции математики к исходным представлениям арифметики, рассматривая последние в качестве необходимых и далее неразложимых интуиции сознания.
Решение: *ограничил обычную логику математического рассуждения, изъяв из нее закон исключенного третьего и ряд других употребимых схем вывода.
*В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения, которые связывали любое утвердительное суждение об объекте с его предъявлением в качестве конструкции.
*Понятие актуального бесконечного множества полностью исключалось из математики как противоречивое по своей сущности.
*Все допустимые математические объекты, должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними.
Многие считали конструктивная математика не может содержать противоречий. вопрос о обосновании был бы решен положительно, если быв ему удалось свести большую часть мат-ки к арифметике.
Но: Сам Брауэр : основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению.
+Последователи построили интуиционистский анализ и интуиционистскую теорию множеств, Интуиционистская программа обоснования математики оказалась, несостоятельной вследствие своей узости.
3. формалистская Д. Гильбертом.
аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности -- гипотезы.
подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики.
* принцип финитизма, оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только через конечное.
если Брауэр хотел устранить актуальную бесконечность из математики вообще, то Гильберт считал возможным сохранить его в тех пределах, в которых оно допускает финитное обоснование.
полную формализацию теории, представлении ее аксиом в виде не имеющих содержания строчек символов. Математическая теория тем самым превращается в объект, подчиненный чисто внешним (формальным) манипуляциям, основанным исключительно на структуре ее формул.
В плане классификации очевидностей можно сказать, что формализация представляет собой редукцию всех типов математической очевидности к предметной и логической очевидности. Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования (принцип индукции и т.п.), допустимые для действий в рамках формализованной теории. Специфика формалистского подхода состоит в том, что заключение о непротиворечивости реальной математической теории предполагается вывести из непротиворечивости ее формализованного аналога.
Ряд требований к метатеории - принципы гильбертовского финитизма. Метатеория является:
1) синтаксической -имеет дело с синтаксисом теории,но не с содержанием
2) содержательной, поскольку она относится к конкретному формализму как к своему единственному предмету и в своих внелогических предпосылках не выходит за пределы описания его самоочевидных свойств;
3) финитной, не имеет дела с актуальной бесконечностью;
4) конструктивной - утверждение о существовании должно быть подтверждено процедурой построения.
Программа Гильберта была поставлена под сомнение теоремой Гёделя о непротиворечивости. Согласно этой теореме, если некоторая теория непротиворечива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории.
Иными словами, мы не можем доказать непротиворечивость арифметики, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики.
Провал программ обоснования математики привел к устойчивому скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще.
4. Современные концепции обоснования:
обосновывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности.
в гносеологической реабилитации логических средств, запрещенных в рассмотренных программах
обоснования математики. требования могут быть существенно смягчены без ущерба для строгости метатеоретического рассуждения.
можем отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Можно
настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности
метаязыка, которые представляются действительно существенными. Анализ показывает, что такая либерализация метатеории, будучи теоретически оправданной, привела бы к строгому обоснованию арифметики, математического анализа и существенной части теории множеств.
вывод: проблема обоснования математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле и есть все основания полагать, что возможности ее положительного решения не так ограничены, как это представляют себе скептики, опирающиеся исключительно на факт провала традиционных программ обоснования. У нас нет абсолютных запретов на появление других более успешных программ, которые будут исходить из более адекватных представлений о природе математического мышления и об условиях его строгости. Мы должны хорошо осознавать то обстоятельство, что наше продвижение к строгому
обоснованию математики зависит от нашего понимания природы математического мышления, которое находится в процессе постоянного совершенствования.
3. Революции в математике, их содержание. Стиль в математике. И. Лакатос о поступательности в развитии математики.
Т.Кун "Структура научных революций" закономерно возник и вопрос о революциях в математике.
1. Г.Мартенсон самые крайние точки зрения на революцию в математике, начиная от полного ее отрицания и кончая частичным признанием.
Основные точки зрения на революцию в математике
* . кумулятивистская концепция. (открытием новых понятий, доказательством новых теорем и т.д.); в силу самой природы математического познания ученый не обращается непосредственно ни к наблюдениям, ни к эксперименту. Математика развивается на абстрактно-логической основе. не качественные, а количественные - постепенные, медленные - изменения. постепенное накопление новых знаний. старые понятия и теории не подвергаются пересмотру. Кун - критика точки зрения кумулятивного развития
М.Кроу, "необходимой характеристикой революции является то, что некоторый объект должен быть отвергнут и безвозвратно отброшен" => революции никогда не встречаются в математике.
На самом деле, революция в математике приводит к изменению смыслового значения и объема (области применимости).
Фурье математика "сохраняет каждый принцип, который она однажды приобрела".
Г.Ганкель "в большинстве наук одно поколение разрушает то, что построило другое... Только в математике каждое поколение строит новую историю на старой структуре"
Если бы развитие науки состояло в простом отбрасывании старых теорий, как был бы возможен в ней прогресс?
В математике преемственность между старым и новым знанием выражена значительно сильнее, к тому же, будучи абстрактными по своей природе, теории не могут быть опровергнуты экспериментальной верификацией. открытие неевклидовых геометрий- не была революция в геометрии, поскольку Евклид не был отвергнут, а царствует вместе с другими, неевклидовыми геометриями.
Есть мнение: революции возможны только в прикладной математике
Но Между теоретической и прикладной математикой существует тесная взаимосвязь. Поэтому, если мы допускаем революцию в прикладной математике, мы должны признать ее существование и в "чисто" теоретической математике.
*процессами, происходящими вне рамок самой математики или по крайней мере относящимися к форме выражения мысли (символика и исчисления), технике математических вычислений и преобразований (формулы и алгоритмы) или же к методологии и философии математики.
Изменения в символизме или философском обосновании математики, безусловно, чаще бросаются в глаза, чем изменения в самой математике, но происходят они в "надстройке" математики и вторичны по своей сути. Наиболее заметно это в методологии и философии математики, когда открытие принципиально новых понятий, теорий и методов приводит к пересмотру учеными своих методологических и философских взглядов. Яркий пример тому возникновение канторовской теории множестви появление парадоксов, которые привели к новому стилю мышления в математике, принципах обоснования ее теорий, к новым определениям ее исходных понятий.
никакие качественные изменения в процессе развития математики не происходят.
Вся эволюция в математике будет сводиться к простому накоплению и росту знания: ничего в ней не переоценивается, а сохраняется в нетронутом виде.
*Томас Кун. На самом деле количественные, постепенные изменения (по Куну, период "нормальной" науки) в математике, так же как и в других науках, в конце концов сопровождаются изменениями коренными, качественными - научной революцией.
*И.Кант Наиболее значительные революции в истории математики обычно связаны с обобщением ее понятий, теорий и методов, с расширением области их применения и возрастанием абстрактности, глубины, благодаря чему математика точнее и полнее отражает действительность. Но это в свою очередь требует коренного, качественного изменения концептуальной структуры математики.
Первая революция в математике связана с переходом от полуэмпирической математики Древнего Вавилона и Египта к теоретической математике древних греков.
Кант связывал научную революцию с введением в математику доказательства (доказательство теоремы о равнобедренном треугольнике Фалесом). собой свод правил для вычисления площадей фигур, объема пирамиды и т.д. Фалес начал построении единой, логически связанной системы. явился новой, характерной чертой греческой математики. Математика сформировалась как наука, кроме того, в математику был внесен из философии дедуктивный метод рассуждений.
Вторую по счету крупную революцию в математике XVII веку - с переходом от постоянных к изучению переменныхвеличин.
идея Декарта о приложимости математики к исследованию любых процессов и объектов, в которых можно выделить меру и отношение
Ф.Энгельс: "Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика, и благодаря этому же стало необходимым дифференциальное и интегральное исчисление ..."20. Именно в этот период возникли новые понятия переменной, производной, дифференциала и интеграла, которые отсутствовали в прежней математике. Основанные на этих понятиях дифференциальное и интегральное исчисление Ньютона и Лейбница дали возможность изучать процессы и движение. И, наконец, новые методы стали успешно внедряться в другие разделы математики, что привело к возникновению в дальнейшем дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и т.п.
Третья революция в математике относится уже к XX веку, хотя ее начало и предпосылки возникновения связывают с прошлым веком. Начать с того, что именно тогда получили признание неевклидовы геометрииЛобачевского, Римана и Бойяи,
новое понимание принципов построения математики на основе аксиоматического метода. в связи с чем широкое
теория множеств Кантора, ставшая фундаментом всей математики.
парадоксов теории множестви логики вылилось в
кризис обоснований математики в начале XX века и возникновение новых теорий и концепций.
концепция абстрактных структур Н.Бурбаки: математика рассматривается как наука, изучающая абстрактные свойства и отношения любого рода.
революции в математике затрагивают в первую очередь сферу философии математики, связанную с ее концептуальной структурой и проблемами философского обоснования. А это уже ведет к решительным преобразованиям в самой математике. Для того, чтобы подвести итог нашим рассуждениям, охарактеризуем те качественные изменения, с которыми связаны революции в математике, следующими неотъемлемыми чертами:
1. Образование новых понятий или изменение, углубление смысла (значения) старых понятий.
2.Возникновение новых теорий и методов математики, которые радикально изменяют прежние представления.
3.Концептуальное обобщение идей и теорий математики, расширение их применения как внутри самой математики, так и в ее приложениях.
4. Изменениеоснований математики и ее философии, завершающее революцию, происшедшую в математике.
Л.Ландау, науки делятся на естественные (физика, химия), неестественные (гуманитарные) и сверхъестественные (математика). по своим особым законам, и поэтому для обсуждения особенностей научных революций в математике нам понадобился этот последний параграф.
СТИЛЬ с математике
Стиль - целостность образной системы, единство средств художественной выразительности.
архитектур - античный, готика, классический, барокко, модерн и другие.
С 70-х годов XX в. в исследованиях по истории и методологии науки обсуждалось понятие стиля научного мышления.
стиле мышления в математике:
это целостное единство содержания и формы математического творчества и его результата - научного произведения;
это единство идеи и ее доказательства (обоснования и изложения).
Стиль является неотъемлемой характеристикой личности автора и его математического творчества (под личностью здесь понимается отдельный ученый, сообщество, научная школа).
Пифагор и его школа мистико-математический стиль, изотерическое мировоззрение,
Демокрит - математический атомизм, предвестник дифференциального и интегрального исчислений.
Евклид- последовательный, предельно лаконичный, аскетический стиль аксиоматики.
Архимед - простота и смелость механико-геометрического стиля доказательств
Г.Лейбница, от философско-теологической модели бытия (монадологии) к анализу бесконечно малых.
Стиль голографичен, т.е. узнаваем по отдельному произведению. Поэтому и в математике работает герменевтика - теория понимания, возникшая в типично гуманитарных областя.
Ф.Клейн о двух типах математиков - интуитивистах и формалистах Первые стремятся проникнуть в сущность проблемы и "увидеть" результат (путем озарения, инсайта), потом сформулировать теоремы и доказать. Но доказательство для них - дело второстепенное.
Для вторых наоборот: главное - доказать теорему - тщательно, скрупулезно, не только одним, но и вторым, и третьим способами, чтобы проверить и перепроверить доказанное, убедиться в получении "абсолютной истины".
Большинство выдающихся математиков относятся к интуитивистам (в последние века - П.Ферма, Р.Декарт, Л.Эйлер, Н.И.Лобачевский, Б.Риман, А.Пуанкаре, Л.Брауэр, Г.Вейль и другие). Но немало известных ученых гармонично сочетали в своем стиле и глубочайшую интуицию, и строгую логику - Гаусс, например.
стиль определяется излюбленными методами математика, связями с приложениями, истоками идей
1. Личностью учёного ( эмоциями и интеллектом, памятью, волей, системой ценностей, )
2.Специфическими свойствами математического знания (требованием его аподиктичности - доказательности и неопровержимости, трансцендентностью, умозрительностью и формально-знаковым характером,) Это "объективная" составляющая стиля, наиболее независимая от личности учёного.
3.Социально-культурным контекстом данного времени, спецификой культуры,господствующим мировоззрением, нацеленностью научного сообщества в текущий период математики на эмпирические или теоретические методы обоснования теорем, на алгоритмический или аксиоматический способы развития и изложения полученной информации, на конкретные или абстрактные задачи, на практический или теоретический способы организации математического знания и т.п.
КЛАССИФИКАЦИЯ
1) содержательный стиль - формальный стиль (или конкретный - абстрактный стиль);
2) дискретный - непрерывный (в частности, алгебраический - геометрический)
3) платонистский - неплатонистский (в частности, классический, в духе теоретико-множественной математики, - интуиционистский, в духе интуиционизма Л.Э.Я.Брауэра).
возможны гуманитарные классификации: 1) национальный - интернациональный, 2)индивидуальный, неповторимый - повторяющийся, 3) временный, - внеэпохальный, 4) относящийся к определенной математической школе - "внешкольный" и т.п.