Температурная зависимость удельного сопротивления

В идеальном кристалле длина свободного пробега электронов равна бесконечности, а сопротивление электрическому току равно нулю. Рассеяние, приводящее к появлению сопротивления, возникает в тех случаях, когда в решетке имеются дефекты строения.

Известно, что эффективное рассеяние волн происходит, когда размер рассеивающих центров (дефектов) превышает четверть длины волны. В металлах энергия электронов проводимости составляет 3 – 15 эВ. Этой энергии соответствует длина волны 3 – 70Å. Поэтому любые микронеоднородности структуры препятствуют распространению электронных волн и вызывают рост удельного сопротивления материала.

В чистых металлах совершенной структуры единственной причиной, ограничивающей длину свободного пробега электронов, является тепловое колебание атомов в узлах кристаллической решетки. Электрическое сопротивление металла, обусловленное тепловым фактором, обозначим через ρT. С ростом температуры увеличиваются амплитуды тепловых колебаний атомов и связанные с ними флуктуации периодического поля решетки, что, в свою очередь усиливает рассеяние электронов и вызывает возрастание удельного сопротивления. Чтобы качественно установить характер температурной зависимости удельного сопротивления, воспользуемся следующей упрощенной моделью. Интенсивность рассеяния прямо пропорциональна поперечному сечению сферического объема, который занимает колеблющийся атом, а площадь поперечного сечения пропорциональна квадрату амплитуды тепловых колебаний.

Потенциальная энергия атома, отклоненного на Δa от узла решетки, определяется выражением

Wупр= ½ kупр( a)2, (1.6)

где kупр – коэффициент упругой связи, которая стремится вернуть атом в положение равновесия.

Согласно классической статистике средняя энергия одномерного гармонического осциллятора (колеблющегося атома) равна kТ.

На этом основании запишем следующее равенство:

1/2kупр ( Δa)2 = kT.  

Легко доказать, что длина свободного пробега электронов у N атомов обратно пропорциональна температуре:

(1.7)

Полученное отношение не выполняется при низких температурах, поскольку с понижением температуры могут уменьшаться не только амплитуды тепловых колебаний атомов, но и частоты колебаний. Поэтому в области низких температур рассеяние электронов тепловыми колебаниями узлов решетки становится неэффективным. Взаимодействие электрона с колеблющимся атомом лишь незначительно изменяет импульс электрона. В теории колебаний атомов решетки температуру оценивают относительно некоторой характеристической температуры, которую называют температурой Дебая ΘD. Температура Дебая определяет максимальную частоту тепловых колебаний, которые могут возбуждаться в кристалле:

Θ D = hVmax / k .  

Эта температура зависит от сил связи между узлами кристаллической решетки и является важным параметром твердого тела.

При T > ΘD удельное сопротивление металлов изменяется линейно с температурой (рисунок 1.1, участок III).

 
а, б, в – варианты изменения удельного сопротивления у различных расплавленных металлов Рисунок 1.1 – Зависимость удельного сопротивления металлического проводника от температуры в широком диапазоне температур:

 

Как показывает эксперимент, линейная аппроксимация температурной зависимости ρТ (T) справедлива и до температур порядка (2/3)ΘD, где ошибка не превышает 10%. Для большинства металлов характеристическая температура Дебая не превышает 400 – 450 К. Поэтому линейное приближение обычно справедливо при температурах от комнатной и выше. В низкотемпературной области (T << ΘD), где спад удельного сопротивления обусловлен постепенным исключением все новых и новых частот тепловых колебаний (фононов), теория предсказывает степенную зависимость ρT ~ T5. В физике это соотношение известно как закон Блоха-Грюнайзена. Температурный интервал, в котором наблюдается резкая степенная зависимость ρT(T), невелик, причем экспериментальные значения показателя степени лежат в пределах от 4 до 6.

В узкой области I, составляющей несколько градусов Кельвина, у ряда металлов может наступить состояние сверхпроводимости, и на рисунке виден скачок удельного сопротивления при температуре Tсв. У чистых металлов совершенной структуры при стремлении температуры к 0°К удельное сопротивление также стремится к нулю (пунктирная кривая), а длина свободного пробега устремляется в бесконечность. Даже при обычных температурах длина свободного пробега электронов в металлах в сотни раз превышает расстояние между атомами (таблица 1.1).

 

Таблица 1.1. – Средняя длина свободного пробега электронов

при 0°С для ряда металлов (lср х1010, м)

 

 

Li Cu
Na Ag
K Au
Ni Fe

 

 

В пределах переходной области II происходит быстрый рост удельного сопротивления ρ(T), где n может изменяться до 5 и постепенно убывает до ~ 1 с ростом температуры до T = ΘD.

Линейный участок (область III) температурной зависимости ρ(T) у большинства металлов простирается до температур, близких к точке плавления. Исключение из этого правила составляют ферромагнитные металлы, у которых имеет место дополнительное рассеяние электронов на нарушениях спинового порядка. Вблизи точки плавления, т.е. в области IV, начало которой отмечено на рисунке 1.1 температурой Tнл, и в обычных металлах может наблюдаться некоторое отступление от линейной зависимости.

При переходе из твердого состояния в жидкое у большинства металлов наблюдается увеличение удельного сопротивления приблизительно в 1,5 – 2 раза, хотя имеются и необычные случаи: у веществ со сложной кристаллической структурой, подобных висмуту и галлию, плавление сопровождается уменьшением ρ.

Эксперимент выявляет следующую закономерность: если плавление металла сопровождается увеличением объема, то удельное сопротивление скачкообразно возрастает; у металлов с противоположным изменением объема происходит понижение ρ.

При плавлении не происходит существенного изменения ни в числе свободных электронов, ни в характере их взаимодействия. Решающее влияние на изменение ρ оказывают процессы разупорядочения, нарушение дальнего порядка в расположении атомов. Аномалии, наблюдаемые в поведении некоторых металлов (Ga, Bi), могут быть объяснены увеличением модуля сжижаемости при плавлении этих веществ, что должно сопровождаться уменьшением амплитуды тепловых колебаний атомов.

Относительное изменение удельного сопротивления при изменении температуры на один градус Кельвина называют температурным коэффициентом удельного сопротивления:

(1.8)

 

Положительный знак αr соответствует случаю, когда удельное сопротивление в окрестности данной точки возрастает при повышении температуры. Величина αr также является функцией температуры. В области линейной зависимости ρ(Т) справедливо выражение:

  (1.9)
   

где r0 и αr – удельное сопротивление и температурный коэффициент удельного сопротивления, отнесенные к началу температурного диапазона, т.е. температуре T0;

ρ – удельное сопротивление при температуре T.

Связь между температурными коэффициентами удельного сопротивления и сопротивления такова:

αr=αR+αl, (1.10)

где αr – температурный коэффициент сопротивления данного резистора;

αl – температурный коэффициент расширения материала резистивного элемента.

У чистых металлов αr >> αl, поэтому у них αr ≈ αR. Однако для термостабильных металлических сплавов такое приближение оказывается несправедливым.