Моделирование периодического штрихового изображения. Метод Фурье-преобразования. Пространственно-частотный анализ
Очень часто в полиграфии мы имеем дело с периодическими решетками. Для этих периодических решеток можно использовать метод Фурье-преобразования.
Любая периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье.
Эта функция может быть разложена в ряд: 
- это частота решетки, если мы рассматриваем пространственную решетку.
Обратное Фурье-преобразование: 
В данной формуле коэффициент 
определяется как интеграл: 
коэффициент 
определяется как 
и коэффициент 
как 
; где 
1, 2, 3, 4, …
Учитывая, что разница между cos и sin только в 
: 
И в векторной форме: 
, 
; 
, 
.
Подставляя сюда наше выражение:
Мы знаем, что по формуле 
Отсюда получаем: 
А также используя формулу Эйлера: 
На основе формулы Эйлера мы можем записать нашу формулу:
В этом выражении 
Таким образом мы совершили спектральный или гармонический анализ, в котором функция представлена в виде набора составляющих, отличающихся между собой по преобразованной частоте и амплитуде. Величины определяются по ним.
Сами гармонические составляющие отличаются между собой в целое число раз; причем каждая имеет свою амплитуду, отличающую , , 
.
Представление ряда Фурье в виде дискретных функций
Имея периодическую функцию: 
При чем 
- это первая гармоника. При преобразовании Фурье в пространственный дискретный ряд, мы нашу амплитуду выражаем дискретными значениями.
Мы имеем первую или основную гармонику. При частоте 
мы уже можем отложить амплитуду первой гармоники:
Все гармоники отличаются в целое число раз. Между 
и - целое число, которое между и 
; и 
всегда одинаково.
Ряд является бесконечным и меняется от 1 или 0 до 
. Но мы этот ряд можем ограничить числом членов, так как остальные пренебрежительно малы.
Бывает так, что отсутствуют либо четные, либо нечетные гармоники.
Если х и –х по модулю равны, то, то наша функция – четная – симметричная относительно оси х. Поэтому она теряет -составляющую; т. е. cos-Фурье составляющие равны нулю; остаются только sin-Фурье составляющие.
Если периодическая функция – нечетная – симметрична относительно оси у, то наш ряд теряет -составляющую; т. е. cos sin -Фурье составляющие равны нулю; остаются только cos -Фурье составляющие.
Ряды Фурье.
Обладают тем преимуществом, что он обладает наибольшей точностью при представлении функции, ограниченной числом членов. Ошибки являются минимальными. Другое преимущество – если мы эту функцию представляем разными членами ряда и их недостаточно; то мы добавляем число, но предыдущие члены ряда при добавлении не изменяются. И третье преимущество – это возможность упрощения ряда Фурье для четных функций.
Выше мы рассмотрели разложение функции в ряд Фурье. Это прямое преобразование ряда Фурье. Также мы можем получить обратное преобразование ряда Фурье.
Рассмотрим пример обратного Фурье-преобразования для прямоугольной решетки с п-образным распределением освещенности и с равной шириной штриха и просвета.
при 
при 
Мы можем записать ряд Фурье как:
Представим теперь это графически. В нашей формуле 
. Следующий член – это первая или основная гармоника. Если у нас Р=0,1 мм, то у нас 
мм. Четные гармоники у нас равны нулю. Следовательно, мы переходим сразу к третьей гармонике.
Мы ограничились пятью нечетными гармониками.. Сделаем обратное Фурье-преобразоование – найдем из наших гармоник функцию.
Берем нашу составляющую и строим по ней амплитуду: 
. Откладываем 
и от нее откладываем гармонические составляющие синусоиды.
1
Далее гармоническая составляющая будет иметь амплитуду втрое меньшую, а частоту втрое большую.
1,2
Пятая гармоника будет иметь частоту в пять раз больше, а амплитуду в пять раз меньше.
1,2,3
Теперь суммируем наши гармоники.
1+2
Получаем уже достаточно приближенную к П-образному сигналу функцию. Чем больше членов ряда мы будем использовать, тем более точное у нас будет происходить обратное Фурье-преобразование.