Предельный анализ и оптимизация прибыли, издержек и объема производства
Объем производства продукции, цена продукта и издержки (затраты на производство продукции) находятся в определенной функциональной зависимости друг от друга. Поэтому получение максимальной прибыли возможно при определенных соотношениях этих величин. При принятии решений, нацеленных на увеличение прибыли предприятия, необходимо учитывать предполагаемые величины предельного дохода и предельных издержек. Предельный доход - это прирост выручки от реализации на единицу прироста количества производимого продукта.
Введем следующие условные обозначения:
Q - количество товара (продукта);
р — цена единицы товара;
Р х Q - доход (выручка) от реализации товара;
С - издержки производства (затраты);
R — прибыль от реализации.
Тогда стремление получить максимум прибыли может быть представлено в формальном виде следующей функцией:
R = (p x Q) – C →max.
Применение предельного дохода к этой функции дает соотношение
,
где 
– предельные издержки;
— предельный доход.
Отсюда следует: чтобы прибыль была максимальна, необходимо равенство предельных издержек и предельных доходов. Это соотношение позволяет найти оптимальный размер объема производства при известных ли заданных) функциях спроса Р = f(Q) и издержек С = g(Q).
Проведем анализ оптимальности объема производства по предприятию. Предварительно сделаем необходимые дополнения исходных данных для последующих расчетов (табл. 8.11).
Таблица 8.11
Исходные данные для предельного анализа
| Показатели | Базисный год | Годы | ||||
| 1-й | 2-й | 3-й | 4-й | 5-й | ||
| Производство продукции в натуральном выражении (Q), шт. | 19ХХ | |||||
| Цена единицы продукта, (р), руб. | ||||||
| Затраты (издержки производства) по полной себестоимости (С), тыс. руб. | ||||||
| Выручка от реализации [р х О),тыс.руб. | 11 024 | |||||
| Прибыль (R), тыс. руб. |
Анализ зависимости между ценой продукта и его количеством в динамике позволяет выбрать для функции спроса линейную форму зависимости вида р = а0 + а1 х Q. По методу наименьших квадратов определяются неизвестные параметры a0 и а1 настемы нормальных уравнений вида
где п — число наблюдаемых лет;
рi — цена i-й единицы продукта;
Qi — количество i-й продукции в натуральном выражении.
После проведения расчетов по нашим данным получим эмпирическую функцию спроса p = 7651 — 1,076 х Q.
Таблица 8.12
Сравнительные данные объемов производства по результатам предельного анализа
| Показатель | Фактически (5-й год) | Оптимум | Отклонения |
| Производство продукции в натуральном выражении (Q), шт. | +859 | ||
| Цена единицы продукта (р), руб. | -937 | ||
| Затраты (издержки) по полной себестоимости (С), тыс. руб. | +149 | ||
| Выручка от реализации (р х Q), тыс. руб. | +761 | ||
| Прибыль (R), тыс. руб. | +612 |
Анализ зависимости между издержками и количеством выпускаемой продукции в динамике позволяет для функции издержек выбрать также линейную форму связи вида С = b0 + b1 x Q. Неизвестные параметры b0 и b1 также находятся по методу наименьших квадратов на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида
;
где условные обозначения соответствуют принятым ранее. В окончательном виде имеем следующую эмпирическую функцию издержек:
С = 3887 + 2,082 х Q.
Теперь проведем расчеты предельного дохода и предельных издержек и, сравнивая их, найдем величину оптимального выпуска продукции:
p = 7651 - 1,076 х Q;
С = 3887 + 2,082 хQ;
p х Q = 7651 х Q - 1,076 х Q2;
=7651-2.152 x Q; = 2.082
7651 - 2,152 x Q = 2,082, т.е. Q = 3554.
Оптимальный объем выпуска продукции составляет 3554 шт. Зная размер выпуска, можно определить цену продукта, выручку, прибыль и издержки производства. Результаты расчетов представлены в табл. 8.12. В ней для сравнения приведены также фактические данные предприятия за 5-й год.
Подведем некоторые итоги. Применение предельного анализа показывает, что у предприятия имеются возможности увеличить прибыль на 612 тыс. руб. за счет увеличения объемов производства и реализации продукции. При этом затраты предприятия возрастут всего на 149 тыс. руб., или на 1,46%. Оптимальная цена продукта составит 3827 руб., что ниже фактической цены на 937 руб., или на 19,7%. Следовательно, предприятие может в перспективе придерживаться стратегии, направленной на рост объемов выпуска и реализации продукции, однако необходимо при этом сохранить достигнутый уровень затрат на производство.