Формулы полной вероятности и Байеса

Геометрические вероятности.

Предположим, что на числовой оси имеется некоторый отрезок [a,b] и на этот отрезок наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет на .

Геометрическая вероятность на прямой.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:

—геометрическая вероятность на плоскости.

Пусть в пространстве имеется фигура v, составляющая часть фигуры V. На фигуру V наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру v определяется равенством:

Геометрическая вероятность в пространстве.

Недостатком классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для устранения этого недостатка и вводят геометрические вероятности.

Свойства вероятности.

Свойство 1.Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . .

Свойство 2.Вероятность достоверного события равна 1, т.е. , .

Свойство 3.Для любого события . , т.к. , то и следовательно .

Свойство 4.Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:

Свойство 5. (обобщенная теорема сложения вероятностей)

Свойство 6. (теорема сложения k слагаемых)

Если события А₁, А₂,…, А_k попарно несовместимы, то

Свойство 7.Если (А влечет В), то .

,тогда .

Свойство 8.Если , то .

. Следовательно, . Тогда .

Свойство 9..

, .

Свойство 10.Если события Н₁, Н₂,…,Н_k образуют полную группу, то .

Т.к. , то по свойству 6:

Условная вероятность. Независимость.

o Условной вероятностьюсобытия B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение , (реже ). . .

Теорема (умножение вероятностей): .

Теорема (обобщенная теорема умножения).

Доказательство:

Пример. Студент знает 20 вопросов из 25, преподаватель задает 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все 3 вопроса.

А—событие, что студент знает все три вопроса.

А₁— знает первый вопрос;

А₂— знает второй вопрос;

А₃— знает третий вопрос;

; .

o События А и В называются независимыми, если .

Свойство. События А и В независимы тогда и только тогда когда P(B/A)=P(B).

Пусть P(B/A)=P(B), тогда А и В независимы.

Пример. Бросаются две симметричные монеты. Найти вероятность того, что на обоих монетах выпадут гербы.

. А–на первой монете герб, В–на второй монете герб. А и В независимы.

o События А₁,А₂,…,А_n называются независимыми (или независимыми в совокупности), если

(для i≠j; i,j{1,2,3,…,n})–попарная независимость событий;

, …,

Можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.

Формулы полной вероятности и Байеса.

Теорема 1.Если события Н₁, Н₂,…,Н_n образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

, или .

Так как события образуют полную группу, то можно записать .

Событие А может произойти только с одним из событий H_i, i{1,2,…,n}, то А=АН₁+АН₂+…+АН_n. По теореме сложения вероятностей

Пример. Имеются 2 урны. В первой—3 белых и 5 черных шаров, во второй—4 белых и три черных. Из первой наудачу взят один шар и переложен во вторую урну. После этого из второй урны был извлечен наудачу шар. Какова вероятность, что он белый?

Событие А—из второй урны извлечен шар;

Н₁—из первой урны во вторую переложен белый шар

Н₂—из первой урны во вторую переложен черный шар.

Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н₁,Н₂,…,Н_n , образующие полную группу, называются гипотезами.

Теорема 2.Пусть события Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:

Доказательство: По теореме умножения вероятностей

Отсюда находим вероятность

. Остается в знаменателе подставить вместо —формула полной вероятности.

Пример. Рассмотрим предыдущий пример с учетом того, что из второй урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны вынули белый шар. Нужно найти P(H₁|A).

Замечание. При применении формулы Байеса вероятности называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H₁|A),…,P(H_n|A) называют апостериорными вероятностями гипотез.