Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли). Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании

Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании, тогда .

Введем случайные величины μ_i—число успехов в i-ом испытании. Тогда .

μ_i
P	p	q

, (т.к. ).

(т.е. дисперсия ограничена ).

μ₁, μ₂,…, μ_n—независимы. По закону больших чисел в форме Чебышёва .

В чем смысл закона больших чисел в форме Бернулли?

Пусть в результате эксперимента может произойти или не произойти событие А. P(A)—вероятность события А в одном эксперименте. Эксперимент повторяется N раз, N(A)—число появлений события А в этих N экспериментах.

b₂,…, b_n₂, n₃ элементов k-ой группы x₁, x₂,…, x_nk можно составить ровно n₁∙ n₂∙…∙n_k различных упорядоченных комбинаций вида

, содержащих по одному элементу из каждой группы. 1. При k=2 утверждение выполняется (Лемма 1). 2. Предположим, что Лемма 2 выполняется для k. Докажем для k+1 группы элементов

. Рассмотрим комбинацию

как

. Предположение дает возможность вычислить число комбинаций из k элементов, их n₁ n₂ n_k. По Лемме 1 число комбинаций из k+1 элементов n₁ n₂… n_k₊₁. Пример. При бросании двух игральных костей N=6∙6=36. При бросании трех костей N=6∙6∙6=216. Леммы 1 и 2 называются основными правилами комбинаторики. Пусть имеется множество из n элементов a₁, a₂ ,a_n. Будем рассматривать выборку объема k

из n элементов. Все выборки можно классифицировать по 2 признакам: 1. упорядоченные и неупорядоченные. 2. с возвращением и без возращения. Если выборка упорядоченная, то выборки с одним и тем же составом выбранных элементов, но разным порядком элементов в выборках, считаются различными. Если выборка считается неупорядоченной, то все выборки с одним и тем же составом элементов

Чебышёва: Для

{x││x-MX│≥ε}

{x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε}

. Таким образом,

. Теорема 2. (закон больших чисел в форме Чебышёва). Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной, т.е.

. Тогда эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел. Обозначим через

. Нужно доказать, что

отождествляются. Пример. Возьмем множество из трех элементов {1,2,3}. Выбираем k=2.

(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3);	(1,1);(1,2);(1,3); (2,2);(2,3); (3,3);	С возвращением
(1,2);(1,3); (2,1);(2,3); (3,1);(3,2);	(1,2);(1,3); (2,3);	Без возвращения
упорядоченная	неупорядоченная	выборка

Составим общую таблицу числа выборок:

		С возвращением
		Без возвращения
упорядоченная	Неупорядоченная	Выборка

Упорядоченная выборка с возвращением ). Каждый элемент выборки может принимать n значений, т.е. число выборок . Упорядоченная выборка без возвращения .

o Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением. Число размещений .

Пример. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

Свойство 3.данных случайных величин равна произведению характеристических функций этих случайных величин, т.е.

. Свойство 4.Если М

, характеристическая функция случайной величины

n раз дифференцируема, причем

, где

. Замечание. Необходимо отметить, что функция распределения величины однозначно определяется характеристической функцией. Таким образом, характеристическая функция является законом распределения случайной величины. § 24. Законы больших чисел. 0. 1Последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… называется сходящейся по вероятности к случайной величине Х, если для любого положительного числа

, т.е.

при

. Обозначается

. 0. 2 Говорят, что последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… удовлетворяют закону больших чисел, если

. Теорема 1. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию DX, справедливо неравенство

n=11³.

. o Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. P_k-число перестановок из k элементов.

, поскольку 0!=1. o Произвольное k-элементное подмножество множества n элементов называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через

, где

. Свойства сочетаний: 1.

. 2.

. 3.

. 4.

Равномерное	,
Равномерное	,
Показательное	,
Нормальное распределение