Условия примера такие же, как и в примере 1, только проценты по депозиту начисляются 2 раза в год (раз в полгода)

Общие сведения о количественном анализе

Потоков платежей

Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств: возникновение отдельных платежей или множества выплат и поступлений, распределенных во времени.

В процессе количественного анализа финансовых операций удобно абстрагироваться от их конкретного экономического содержания и рассматривать порождаемые ими движения денежных средств как числовой ряд, состоящий из последовательности распределенных во времени платежей CF₀, CF₁, …, CF_n. Для обозначения подобного ряда в мировой практике широко используется термин поток платежей или денежный поток (cash flow – CF). Отдельный элемент такого числового ряда CF_t представляет собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием (оттоками) на конкретном временном отрезке проведения финансовой операции. Таким образом, величина CF_t может иметь как положительный, так и отрицательный знак.

Количественный анализ денежных потоков в общем случае сводится к вычислению следующих их характеристик:

1. FV (future value) – будущая стоимость денежного потока (FV = CF_n).

2. PV (present value) – настоящая (современная) стоимость денежного потока (PV = CF₀).

3. CF_t (cash flow) – величина денежного потока в период времени t.

4. r (interest rate) – процентная ставка.

5. n – срок (количество периодов) проведения финансовой операции (в предлагаемых ниже задачах рассматриваются долгосрочные финансовые операции, т. е. с продолжительностью более 1 года, поэтому n в этих задачах будет измеряться в годах).

Далее будут рассмотрены наиболее распространенные виды денежных потоков, их свойства, а также технология автоматизации вычислений перечисленных выше характеристик денежных потоков.

Финансовые операции с элементарными

Потоками платежей

Простейший (элементарный) денежный поток состоит из одной выплаты и последующего поступления либо разового поступления и последующей выплаты, разделенных n периодами времени (например, лет).

Примерами финансовых операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты без довложения, единовременные ссуды, некоторые виды ценных бумаг и др. Нетрудно заметить, что числовой ряд в этом случае состоит всего из двух элементов:

· {-PV; FV} – депозит; вначале деньги отдаем (знак «-» у величины PV), потом получаем (знак «+» у величины FV);

· {PV; -FV} – ссуда; вначале деньги берем (знак «+» у величины PV), потом отдаем (знак «-» у величины FV).

¨Замечание. При количественном анализе финансовых операций очень важно учитывать знаки денежных потоков. При этом надо обязательно определиться, на чьих позициях мы стоим. Вышеприведенные элементарные потоки рассмотрены с позиции вкладчика. Если встать на позиции банка, то знаки величин изменятся на противоположные.

При работе с финансовыми функциями MS Excel также исключительно важно учитывать знаки денежных потоков. Во всех примерах мы будем стоять на позициях вкладчика, за исключением примера № 5 (см. ниже).

Операции с элементарными потоками платежей характеризуются четырьмя параметрами – FV, PV, r, n (CF_t = 0). Величина любого из них может быть определена по известным значениям трех остальных. Для установления взаимосвязи между перечисленными параметрами рассмотрим следующий пример.

¨Замечание. Для определенности в дальнейшем речь будет идти о долгосрочных финансовых операциях (n³1), хотя при определенных условиях изложенный ниже материал применим и к краткосрочным финансовым операциям (n<1), где n – количество лет.

Пример 1

Сумма в 10000 у. е. помещена в банк на депозит сроком на 3 года. Номинальная ставка по депозиту 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?

По условиям данной операции известны следующие величины: первоначальная сумма вклада PV = 10000, процентная ставка r = 10% и срок n = 3 года.

Общее соотношение для определения будущей величины денежного потока имеет следующий вид:

FV = PV(1+r)ⁿ. (2.12)

Подставляя исходные данные, получаем:

FV = 10000 ´ (1+10%)³ = 10000 ´ 1,1³ = 13310 (у. е.)

Техника процентных вычислений по формуле (2.12) получила название наращивания.

¨Замечание. Формулу (2.12) можно использовать только для целого числа лет n, в противном случае необходимо пользоваться формулами смешанных вычислений.

В результате преобразований формулы (2.12) можно получить выражения для величин PV, r и n. Приведем формулу для определения настоящей (современной) величины элементарного потока платежей:

. (2.13)

Техника процентных вычислений по формуле (2.13) получила название дисконтирования.

Вывод математических выражений для величин r и n из формулы (2.12) является более сложным, так как требует применения операций логарифмирования (для величины n) и взятия корня n-ой степени (для величины r).

Вычисление величин FV, PV, r и n удобно производить в среде табличного процессора MS Excel с использованием финансовых функций, основными из которых являются следующие:

· функция БС – для расчета величины FV;

· функция ПС – для расчета величины PV;

· функция СТАВКА – для расчета величины r;

· функция КПЕР – для расчета величины n.

Перечисленные функции используют одинаковые аргументы, которые имеют следующую финансово-экономическую сущность:

· аргумент Бс – это величина FV;

· аргумент Пс – это величина PV;

· аргумент Ставка – это величина r;

· аргумент Кпер – это величина n;

· аргумент Тип – может принимать два значения из множества {0; 1} и определяет тип начисления процентов: 1 – в начале периода (поток пренумерандо) и 0 – в конце периода (поток постнумерандо). На практике наибольшее распространение получил поток постнумерандо, поэтому для аргумента Тип мы будем задавать значение 0;

· аргумент ПЛТ – задает величину периодического платежа CF_t (для элементарного денежного потока он равен 0).

¨Замечания:

а) аргументы Тип и ПЛТ могут быть опущены, для них по умолчанию задается значение 0;

б) при задании аргументов PV и FV необходимо учитывать характер денежного потока:

– {-PV; FV} – «вначале отдаем, потом получаем» (например, депозит);

– {PV; -FV} – «вначале берем, потом отдаем» (например, ссуда);

в) по умолчанию вывод результата на экран осуществляется в формате, заданном в функции (денежный, процентный). Если формат по каким-либо соображениям не устраивает, его необходимо изменить через диалоговое окно «Формат ячеек».

На рис. 2.3.15 показано решение примера 1 с использованием рассмотренных финансовых функций.

A	B	C	D	E
Пример 1
PV	r	n	FV	Что считаем?
-10000,00	10%		13 310,00	FV
-10000,00	10%		13310,00	PV
-10000,00	10%		13310,00	r
-10000,00	10%		13310,00	n

Рис. 2.3.15

В ячейке D3 содержится формула:

=БС(B3;C3;0;A3;0),

в ячейке A4:

=ПС(B4;C4;;D4),

в ячейке B5:

=СТАВКА(C5;;A5;D5;0),

в ячейке C6:

=КПЕР(B6;;A6;D6;0).

На практике в зависимости от условий финансовой сделки проценты могут начисляться несколько раз в год (раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно). Какой же вид в этом случае будет иметь выражение (2.12)? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример 2.

Пример 2

Условия примера такие же, как и в примере 1, только проценты по депозиту начисляются 2 раза в год (раз в полгода).

Хотя срок проведения операции остался неизменным (3 года), но изменилось количество периодов начисления процентов 2 ´ 3 = 6. При этом также необходимо использовать и «скорректированную» на соответствующий период процентную ставку (в нашем случае 5%). Для примера 2 имеем:

FV = PV(1+r/2)²^´³ = 10000 ´ (1+5%)⁶ =

10000 ´ 1,05⁶ = 13400,96 (у. е.).

Проведя анализ примера 2, можно получить общую формулу для определения будущей величины денежного потока при начислении процентов несколько раз в год:

, (2.14)

где m – число периодов начисления в году.

При m = 1 формула (2.14) превращается в формулу (2.12).

¨Замечание. Формулу (3) можно использовать только для целого числа периодов m´n, в противном случае необходимо пользоваться формулами смешанных вычислений.

На рис. 2.3.16 показано решение примера 2.

A	B	C	D	E	F
Пример 2
PV	r	n	m	FV	Начисление процентов
-10000,00	10%			13 310,00	раз в год
-10000,00	10%			13 400,96	2 раза в год (раз в полгода)
-10000,00	10%			13 448,89	4 раза в год (ежеквартально)
-10000,00	10%			13 481,82	12 раз в год (ежемесячно)

Рис. 2.3.16

В ячейке E11 содержится формула:

=БС(B11/D11;C11*D11;;A11;0),

в других ячейках (E12:E14) содержатся аналогичные формулы с соответствующим смещением ячеек.

Заметим, что мы рассмотрели наиболее простые ситуации, когда срок проведения операции определялся целым числом лет. При несоблюдении этого условия вышеприведенные формулы необходимо дорабатывать.

В библиотеке MS Excel, кроме вышерассмотренных, содержится еще ряд функций для расчета характеристик элементарных денежных потоков (например, функции БЗРАСПИС, ЭФФЕКТ, НОМИНАЛ).

Финансовые операции с элементарными денежными потоками лежат в основе проведения финансовых операций с денежными потоками более сложной структуры, какими являются, например, аннуитеты.